Pregunta básica sobre campos finitos y característica.

Estoy leyendo "Temas de álgebra" de Herstein y me he encontrado con el siguiente problema:

Si$D$es un dominio integral y$D$es de característica finita, demuestre que la característica de$D$es un número primo.

La definición de característica finita dada por Herstein es: "Un dominio integral$D$se dice que es de característica finita si existe un entero positivo$m$tal que$ma=0$para todos$a \in D$." Su definición de característica es "el entero positivo más pequeño$p$tal que$pa=0$para todos$a \in D$."

Por cierto, él no asume que$D$tiene una unidad. Me quedé atascado en algún punto de la prueba. Voy a escribir lo que he hecho.

En primer lugar, me gustaría mostrar la existencia de un entero positivo más pequeño que mata a todos los elementos. si defino$S=\{n \in \mathbb N: na=0 \space {\rm for \ all \ } a \in D\}$, entonces$m \in S$, y desde$S$no está vacío, debe tener un elemento mínimo. Si llamo a este elemento$p$, quiero mostrar que$p$es primo Suponer$p$no es primo, entonces$p$Se puede escribir como$p=st$con$s,t>1$. Así que para cualquier$a \in D$, tenemos

$$pa=(sa)(ta)=0.$$ Desde $D$es un dominio integral, entonces $sa=0$o $ta=0$para todos $a \in D$. Aquí viene mi tonta preocupación: tengo que para algunos elementos en $D$, $t$los mata y $t<p$, y lo mismo pasa con $s$. Pero no estoy tan seguro de si esto contradice alguna de las afirmaciones. No necesariamente sucede que $t$mata TODOS los elementos, y de manera similar para $s$, así que tal vez $p$sigue siendo el entero positivo más pequeño que mata a todos los elementos. Cualquier explicación sería apreciada.