¿Todo grupo abeliano admite una estructura en anillo?

Question

¿Todo grupo abeliano admite una estructura en anillo?

Matemáticas
teoría del anillo
álgebra abstracta

Mikko Korhonen

Dado algún grupo abeliano $(G, +)$ , siempre existe una operación binaria $*$ tal que $(G, +, *)$ es un anillo? Eso es, $*$ es asociativo y distributivo:

\begin{aligned} a * (b * C) = (a * b) * C \\ a * (b + C) = a * b + a * C \\ (a + b) * C = a * C + b * C \end{aligned}

$\begin{align*} &a * (b * c) = (a*b) * c \\ &a * (b + c) = a * b + a * c \\ &(a + b) * c = a * c + b * c \\ \end{align*}$

También podríamos tener identidad multiplicativa $1 \in G$ , con $a * 1 = 1 * a = a$ para cualquier $a \in G$ . La multiplicación puede o no ser conmutativa.

Dependiendo de la definición, la respuesta podría ser no en el caso del grupo con un elemento: entonces $1 = 0$ . Pero el anillo trivial no es un caso muy interesante. Para grupos cíclicos, la afirmación es ciertamente cierta, ya que $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ y $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ son los dos anillos. ¿Qué pasa en general? ¿Existe algún procedimiento para dar estructura de anillo a grupos abelianos arbitrarios?

jonas meyer

Definición

a b = 0

$ab=0$ siempre da un ejemplo, por lo que es posible que desee mencionar que desea algo más.

jonas meyer

Los grupos abelianos generados de forma finita son sumas directas de grupos cíclicos, por lo que es posible que también desee centrarse en el caso generado de forma no finita.

asaf karaguila

@Jonas, por supuesto, esta definición de multiplicación no tendrá un elemento de identidad.

jonas meyer

Me pregunto si los espacios vectoriales de dimensión infinita sobre

Q

$\mathbb Q$ se les puede dar una multiplicación que les haga anillos con identidad.

Chris Águila

@Jonas Meyer: Pueden. Para

κ

$\kappa$ un cardinal infinito, cualquier característica

0

$0$ campo de grado de trascendencia

κ

$\kappa$ también es un

Q

$\mathbb{Q}$ -espacio vectorial de dimensión

κ

$\kappa$ .

Respuestas (3)

¿Todo grupo abeliano admite una estructura en anillo?

Definición $ab=0$ siempre da un ejemplo, por lo que es posible que desee mencionar que desea algo más.
Los grupos abelianos generados de forma finita son sumas directas de grupos cíclicos, por lo que es posible que también desee centrarse en el caso generado de forma no finita.
@Jonas, por supuesto, esta definición de multiplicación no tendrá un elemento de identidad.
Me pregunto si los espacios vectoriales de dimensión infinita sobre $\mathbb Q$ se les puede dar una multiplicación que les haga anillos con identidad.
@Jonas Meyer: Pueden. Para $\kappa$ un cardinal infinito, cualquier característica $0$ campo de grado de trascendencia $\kappa$ también es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial de dimensión $\kappa$ .

jonas meyer · Answer 1

Si su grupo tiene la propiedad de que cada elemento tiene un orden finito, pero no hay un límite superior en los órdenes de los elementos, entonces no es el grupo abeliano aditivo de un anillo con identidad. La razón es que si hubiera tal estructura de anillo con una identidad $1$ , entonces $1$ tendría orden aditivo finito $k$ , y luego para todos $a$ en tu grupo, $k\cdot a=(k\cdot1)a=0a=0$ , que obliga $a$ tener orden como mucho $k$ .

para cada primo $p$ , el prüfer $p$ -grupo $\mathbb Z(p^\infty)$ es un ejemplo de tal grupo. El grupo del cociente $\mathbb Q/\mathbb Z$ es otro. Las sumas directas (pero no los productos directos) de infinitos grupos cíclicos finitos de orden ilimitado también serían ejemplos.

Incluso si no necesita una unidad, las cosas siguen saliendo mal para un grupo G divisible por torsión como los grupos de Prüfer. G tiene la propiedad de que Hom(G⊗G,G) = 0, por lo que la única multiplicación distributiva (pero no necesariamente unitaria, asociativa o conmutativa) es ab = 0. Los grupos DSC ilimitados no están cubiertos por este argumento del producto tensorial, pero están cubiertos por su uso de 1.
Un ejemplo muy simple de tal grupo abeliano es el grupo multiplicativo de raíces complejas de unidad. Es un grupo de torsión abeliano infinito con exponente ilimitado.

patricio da silva · Answer 2

Hay varias estructuras de grupos canónicos que se pueden equipar de forma natural en un grupo; Voy a enumerar los que sé que son interesantes, tal vez otras personas puedan agregar algunos a la lista.

Los grupos abelianos finitos son isomorfos al producto de grupos cíclicos finitos, por lo que puede formar naturalmente un anillo a partir de un producto directo de anillos finitos. Lo mismo ocurre con los grupos abelianos finitamente generados; puede deducir una estructura de anillo a partir de los productos de los anillos naturales subyacentes.

Una estructura de anillo que siempre está ahí será la estructura de anillo trivial, es decir, simplemente agregue una multiplicación que no signifique nada; envía todo a la identidad (de $G$ ). Claramente respeta todos los axiomas del anillo y te da un anillo (sin embargo, sin una identidad de anillo ). No es muy interesante en tal, porque significa "tenemos una estructura de anillo en $G$ , pero no nos dice nada en absoluto sobre $G$ ".

Otra estructura de anillo que no siempre tiene su grupo abeliano subyacente isomorfo a $G$ pero se define canónicamente por $G$ es el anillo de endomorfismo de $G$ , es decir, dejar

R = {ϕ : GRAMO \to GRAMO | ϕ es un endormorfismo de grupo de GRAMO a GRAMO} .

$R = \{ \phi : G \to G \, | \, \phi \text{ is a group endormorphism of } G \text{ to } G \}.$ Equipa una estructura de anillo en

R

$R$ al decir que

(R, +, \circ)

$(R,+, \circ)$ es un anillo definiendo lo siguiente: el endomorfismo

ϕ_{1} + ϕ_{2}

$\phi_1 + \phi_2$ Se define como

(ϕ_{1} + ϕ_{2}) (gramo) = ϕ_{1} (gramo) + ϕ_{2} (gramo)

$(\phi_1 + \phi_2)(g) = \phi_1(g) + \phi_2(g)$ y

(ϕ_{1} \circ ϕ_{2}) (gramo) = ϕ_{1} (ϕ_{2} (gramo)) .

$(\phi_1 \circ \phi_2)(g) = \phi_1(\phi_2(g)).$ Si

G

$G$ es abeliana, entonces puedes ver fácilmente que la operación

+

$+$ te da un grupo abeliano en

R

$R$ , porque el inverso del endomorfismo

ϕ

$\phi$ será sólo el endomorfismo que envía

g

$g$ a

- ϕ (g)

$-\phi(g)$ en lugar de

ϕ (g)

$\phi(g)$ , de modo que

ϕ + (- ϕ) = 0_{R}

$\phi + (-\phi) = 0_R$ . La conmutatividad se sigue del hecho de que

G

$G$ es abeliana y las otras propiedades se siguen naturalmente. El hecho de que el

\circ

$\circ$ operación le da una estructura de anillo proviene del hecho de que los endomorfismos son en particular homomorfismos, por lo que

(ϕ \circ (ψ_{1} + ψ_{2})) (gramo) = ϕ (ψ_{1} (gramo) + ψ_{2} (gramo)) = (ϕ \circ ψ_{1}) (gramo) + (ϕ \circ ψ_{2}) (gramo)

$(\phi \circ (\psi_1 + \psi_2))(g) = \phi( \psi_1(g) + \psi_2(g)) = (\phi \circ \psi_1)(g) + (\phi \circ \psi_2)(g)$ En particular, la identidad del anillo

R

$R$ sería el endomorfismo identidad de

G

$G$ .

Sé que no es exactamente lo que pediste (en esta última parte), pero al principio no sabía mucho al respecto cuando lo vi y pensé que era interesante, así que pensé que tal vez querrías echarle un vistazo.

Espero que ayude,

Parece que un anillo unitario con un grupo abeliano subyacente $G$ es equivalente a un homomorfismo de grupo inyectivo $G \to \operatorname{End}_{\mathbb{Z}}G$ con $\text{Id}_G$ en su imagen. ¿Estarías de acuerdo? ¿Podemos reforzar esto en absoluto?
Oh, ahora veo que esto tiene que ver con la adjunción hom-tensor. Esa puede ser una forma más clara de verlo.
@EricAuld: un homomorfismo de grupo $G \to \mathrm{End}_{\mathbb Z}(G)$ corresponde a un morfismo $G \otimes_{\mathbb Z} G \to G$ bajo la adjunción del tensor-hom, pero tal morfismo es solo un $\mathbb Z$ -mapa bilineal; la asociatividad no viene automáticamente. El $\mathbb Z$ -la bilinealidad te da distributividad, pero esto no es suficiente para darte un anillo.
@EricAuld: En realidad pensé un poco más; necesitas una propiedad extra de tu mapa $\varphi : G \to \mathrm{End}_{\mathbb Z}(G)$ para que es eso $s,t \in G$ , tienes $\varphi_s \circ \varphi_t = \varphi_{\varphi_s(t)}$ . Esto es lo que te da la asociatividad de la multiplicación, ya que quieres definir $s \cdot t \overset{def}= \varphi_s(t)$ . Entonces un mapa $\varphi$ como arriba con $\varphi_s \circ \varphi_t = \varphi_{\varphi_s(t)}$ y un elemento $1_G$ con $\varphi_{1_G} = \mathrm{id}_G$ te da un anillo unitario. Olvídese de mi comentario sobre la estructura del grupo.
Quieres decir que la condición da la asociatividad sin asumir el mapa $G \to \operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(G)$ es inyectivo, o esa hipótesis aún se requiere incluso si asumimos que el mapa es inyectivo? Mi pensamiento fue definir $s \cdot t := \varphi^{-1}( \varphi_t \circ \varphi_s)$ .
Publiqué esto como una pregunta aquí. math.stackexchange.com/questions/1698186/…

Alejandro Vlasev · Answer 3

Cada grupo abeliano finito es un producto de grupos cíclicos finitos, por lo que obtienes un anillo gratis. De manera similar, cada grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a algunas copias de $\mathbb{Z}$ veces un grupo abeliano finito, por lo que también obtienes un anillo gratis allí. El único caso interesante que queda sería un grupo abeliano no generado finitamente. Hay algunos pasos más que uno probablemente pueda seguir, pero no sé cómo podemos obtener un anillo en general.

¿Todo grupo abeliano admite una estructura en anillo?

Mikko Korhonen

jonas meyer

jonas meyer

asaf karaguila

jonas meyer

Chris Águila

Respuestas (3)

jonas meyer

jack schmidt

Ehsaan

Lubín

patricio da silva

Eric Auld

Eric Auld

patricio da silva

patricio da silva

Eric Auld

Eric Auld

Alejandro Vlasev

Pregunta básica sobre campos finitos y característica.

Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

¿Son sobreyectivos los epimorfismos entre anillos completos locales noetherianos (en su categoría)?

Demostrar que el conjunto de unidades de un anillo es un grupo cíclico de orden 4

¿La propiedad de cancelación para un grupo significa algo diferente a la propiedad de cancelación para un dominio integral?

Dado un conjunto GGG, ¿cómo mostramos que es una base de Gröbner de un ideal III?

¿Una prueba de que si A es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades es un ideal, sin usar el Lema de Zorn?

¿Cuándo se aplica la ley de cancelación para el anillo?

Pensar en los anillos como objetos que contienen ideales en lugar de elementos.

¿Se puede convertir cada monoide en un anillo?