¿Existe un no PIR en el que todo ideal primo generado contablemente sea principal?

Dejar$k$ser un campo y$X$sea ​​un conjunto incontable, y sea$R$ser el anillo de funciones$X\to k$que son constantes fuera de un conjunto finito. Si$P\subset R$es un ideal primo, hay dos casos. El primer caso es que$P$contiene una función con soporte cofinito, en cuyo caso por primalidad debe contener una función cuyo soporte sea el complemento de un singleton$\{x\}$. Entonces se sigue que$P$debe ser igual al ideal de funciones que se desvanecen en$x$, que es principal (generado por la función característica de$X\setminus\{x\}$).

El segundo caso es que$P$no contiene funciones de soporte cofinito. Por primalidad,$P$debe contener entonces toda función de soporte finito (puesto que si$f$tiene apoyo finito,$fg=0$dónde$g$es la función característica del complemento del soporte de$f$, y$g\not\in P$). De este modo$P$es el conjunto de todas las funciones con soporte finito, que de hecho es un ideal primo. Este ideal primo no se genera contablemente, ya que$X$es incontable.

Otro ejemplo similar es el anillo de todas las funciones.$X\to k$, dónde$X$es cualquier conjunto infinito. La prueba de que ningún primo no principal se genera contablemente es más complicada en ese caso, y es equivalente a afirmar que ningún ultrafiltro no principal en un conjunto se genera contablemente.

Para un tipo de ejemplo totalmente diferente, supongamos$\{x_i\}$sea ​​un conjunto incontable de variables y sea$R=k[x_i]/(x_i^2)$. Entonces el único ideal primo de$R$es el ideal generado por todos los$x_i$, ya que todos son nilpotentes y el ideal que generan ya es máximo (ya que el cociente es$k$). Este ideal no se genera contablemente ya que cualquier conjunto contable de generadores solo involucraría contablemente muchas de las variables.

Aquí hay un último ejemplo, que a diferencia de los ejemplos anteriores es un dominio. Primero, permítanme comenzar con un par de lemas.

Lema 1 : Vamos$A$ser un dominio y$a\in A$sea ​​un elemento distinto de cero. Entonces el anillo$B=A[x,y]/(xy-a)$es un dominio

Prueba : Tenga en cuenta que$B[1/x]=A[x,1/x][y]/(xy-a)=A[x,1/x][z]/(z-a/x)=A[x,1/x]$Dejando$z=y/x$. Entonces$B[1/x]$es un dominio, y para mostrar$B$es un dominio basta con mostrar$x$no es un divisor de cero en$B$. Si$x$fuera un divisor de cero, entonces habría polinomios$f,g\in A[x,y]$con$xf=g(xy-a)$y$f$no divisible por$xy-a$. Pero$x$es primo en$A[x,y]$, Así que si$xf=g(xy-a)$entonces$x$divide$g$, entonces$f=(g/x)(xy-a)$es divisible por$xy-a$.

Lema 2 : Vamos$A$ser un dominio y dejar$a\in A$sea ​​un elemento distinto de cero. Entonces el anillo$C=A[x,y,s,t]/(xy-a,sx+ty-1)$es un dominio y no un elemento no unitario de$A$es una unidad en$C$.

Prueba : Por el Lema 1,$B=A[x,y]/(xy-a)$es un dominio Ahora$C[1/x]=B[1/x][s,t]/(sx+ty-1)=B[1/x][s,u]/(s+uy-1/x)=B[1/x][u]$(Dejando$u=t/x$). Entonces$C[1/x]$es un dominio, y para mostrar$C$es un dominio basta con mostrar$x$no es un divisor de cero en$C$. Si$x$eran un divisor de cero en$C$, habría polinomios$f,g\in B[s,t]$tal que$xf=g(sx+ty-1)$pero$f$no es divisible por$sx-ty-1$. Pero si$x$divide$g(sx+ty-1)$, entonces por inducción$x$hay que dividir cada una de las partes homogéneas de$g$, y por lo tanto$x$divide$g$(aquí usamos el hecho de que el término constante de$sx+ty-1$es una unidad). Entonces$f=(g/x)(sx+ty-1)$es divisible por$sx+ty-1$.

De este modo$C$es un dominio Para probar que ninguna no unidad en$A$es una unidad en$C$, tenga en cuenta que hay un homomorfismo de$A$-álgebras de$C$a$A$que envía$x$a$a$,$y$a$1$,$s$a$0$, y$t$a$1$. Cualquier unidad en$C$se asigna a una unidad en$A$bajo este homomorfismo, por lo que cualquier unidad de$C$que provenía de un elemento de$A$debe ser una unidad en$A$.

Bien, ahora finalmente podemos construir el ejemplo. Dejar$U$Sea un conjunto incontable. dado un dominio$A$, dejar$F(A)$ser el anillo obtenido por elementos contiguos$x_{a,u},y_{a,u},s_{a,u},t_{a,u}$tal que$x_{a,u}y_{a,u}=a$y$s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$para cada elemento distinto de cero$a\in A$y cada$u\in U$. Iterando el Lema 2,$F(A)$es un dominio y no una no unidad en$A$es una unidad en$F(A)$.

Ahora deja$A_0$ser un dominio que no es un campo y definir$A_1=F(A_0)$,$A_2=F(A_1)$, y así sucesivamente, y dejar$A_\omega$ser el límite directo de los anillos$A_n$. Entonces$A_\omega$es un dominio, y no es un campo, ya que$A_0$no era un campo y cualquier no-unidad en$A_0$sigue siendo una no-unidad en cada$A_n$. Pero afirmo que ningún ideal primo distinto de cero en$A_\omega$se genera contablemente.

De hecho, supongamos$P\subset A_\omega$es primo y$a\in P$es un elemento distinto de cero. Entonces$a\in A_n$para algunos$n$, y para cada$u\in U$en$A_{n+1}$hay elementos$x_{a,u},y_{a,u},s_{a,u},t_{a,u}$tal que$x_{a,u}y_{a,u}=a$y$s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$. Desde$P$es primo, debe contener exactamente uno de$x_{a,u}$y$y_{a,u}$para cada$u$(si contenía ambos, entonces$s_{a,u}x_{a,u}+t_{a,u}y_{a,u}=1$estaría en$P$). Ahora si$P$fueran generados contablemente, sus generadores implicarían sólo contablemente muchos de los elementos de$U$, y podríamos encontrar un automorfismo de$A_\omega$que fija cada uno de los generadores de$P$pero los intercambios$x_{a,u}$y$y_{a,u}$(y también permutas$s_{a,u}$y$t_{a,u}$) para algunos$u$que no interviene en ninguno de los generadores de$P$. Este automorfismo arreglaría$P$, y entonces$P$contiene$x_{a,u}$si contiene$y_{a,u}$. Esto es una contradicción, ya que$P$debe contener exactamente uno de ellos.

Por lo tanto, ningún primo distinto de cero en$A_\omega$se genera contablemente. Desde$A_\omega$es un dominio que no es un campo, contiene primos distintos de cero, por lo que no es un anillo ideal principal.