Dado que la paradoja de Russell exhibe una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua, la interpretación de la relación binaria "∈" llamada "pertenencia" (donde la expresión "x ∈ m" se pronuncia como "x es un elemento de m") es irrelevante. Podríamos pensar en m como una bolsa de cosas e interpretar...
"x ∈ m" para indicar que x no está en esa bolsa.
... y la misma contradicción surgiría independientemente de la nueva forma de pensar sobre el significado del concepto primitivo (es decir, fundacional, más que definido en términos de conceptos fundacionales) de membresía.
La explicación habitual de por qué surge la paradoja de Russell está diseñada para motivar un enfoque particular de la teoría de conjuntos, un enfoque que se espera no se descubra como lógicamente inconsistente, ya sea en la forma de ZF, o cuando se hayan introducido y aceptado axiomas adicionales en para deducir teoremas esperados como la conjetura de Riemann.
La explicación habitual es que simplemente no puede tener una bolsa o "conjunto" que contenga todos los conjuntos x que satisfagan (x ∉ x), porque sería demasiado material en una bolsa o conjunto. Al invocar una conexión entre "grandeza" e "infinito" y los antiguos tabúes contra el infinito, la explicación parece satisfacer psicológicamente a algunos estudiantes de matemáticas.
Sin embargo, dado que la teoría de conjuntos ingenua es lógicamente inconsistente, sigue siendo inconsistente independientemente de la interpretación. Es inconsistente cuando interpretamos...
"x ∈ m" para indicar que x no está en esa bolsa.
Entonces, claramente, el problema no es que no podamos tener una bolsa o conjunto que tenga como elementos una infinidad de elementos inaceptablemente grande.
¿Cuáles son las demandas mínimas esenciales más allá de la consistencia que debe cumplir un sistema de teoría de conjuntos? Parece que esas exigencias mínimas deberían ser discutidas, y que ha habido un proceso de búsqueda de premisas que permitan cumplir esas exigencias mínimas. Los axiomas (como para ZF) no son evidentes. En cierto sentido, son racionalizaciones, diseñadas para reconstruir teoremas que ya se creía que eran verdaderos antes de la invención de las premisas.
Por lo general, procedemos a través de premisas con el entendimiento de que cualquier defecto en nuestras premisas puede cuestionar la veracidad de nuestras conclusiones. Por lo tanto, si vamos a construir casi toda un área temática sobre algún sistema de premisas y, en general, procedemos como si no tuviera sentido considerar alternativas hasta después de que se haya obtenido cierto consenso a favor de las alternativas, entonces realmente deberíamos creer que las premisas son verdaderas. Los estudiantes de matemáticas que ven las premisas como conjeturas no tienen ninguna razón particular para dejarse impresionar por varias deducciones (usando la lógica deductiva aplicada con más cuidado en matemáticas que en cualquier otra área temática) de conclusiones de esas premisas. Los estudiantes de matemáticas verán naturalmente las conclusiones como respaldadas por algo, pero no como definitivamente ciertas.
La paradoja de Russell surgió históricamente como un contraejemplo de la simple afirmación de Frege sobre la existencia de conjuntos correspondientes a propiedades. Por lo general, cuando se proporciona un contraejemplo muy claro para una afirmación que parecía ser obviamente cierta, el contraejemplo es sorprendente, pero no demasiado sorprendente. La afirmación generalmente se acepta porque se ajusta a algunas ideas vagas y surge una imagen basada en un pequeño número de ejemplos. Un contraejemplo simplemente tiende a mostrar que los ejemplos que la gente tenía en mente cuando fueron persuadidos de aceptar la afirmación eran un conjunto de ejemplos bastante empobrecido que no tiene ni de lejos la riqueza de posibilidades que se encuentran entre las posibilidades matemáticas.
¿Es posible que el enfoque en la paradoja de Russell con exclusión de otras paradojas de la teoría de conjuntos ingenua haya contribuido tanto a reducir el enfoque como a motivar a las personas a aceptar un sistema de teoría de conjuntos principalmente porque no parece haber ninguna forma de deducir... dentro de ese sistema, la contradicción que surge en la paradoja de Russell?
Vale la pena señalar que hay teorías de conjuntos que tienen un conjunto de todos los conjuntos, por lo tanto, el problema con el conjunto inexistente de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no tiene que ver con el "tamaño". La paradoja de Russell proviene de la comprensión sin restricciones, y solo se relaciona con el "tamaño" si mantenemos la comprensión restringida por conjuntos.
Según Tim Button, la razón por la que la paradoja de Russell es un problema en la teoría de conjuntos se debe a que la teoría de conjuntos se basa en la lógica clásica de primer orden y uno puede expresar esa paradoja allí.
Primero considera la paradoja desde la perspectiva de la teoría ingenua de conjuntos: (página 109)
En la parte II, trabajamos con una teoría de conjuntos ingenua. Pero según una concepción muy ingenua, los conjuntos son sólo las extensiones de los predicados. Este pensamiento ingenuo exigiría el siguiente principio:
Comprensión ingenua . { x : φ(x) } existe para cualquier fórmula φ .
Por tentador que sea este principio, es demostrablemente inconsistente.
Luego muestra, después de probar No hay conjunto R = {x : x ∉ x} , que se puede reformular la paradoja de Russell en otros contextos:
Vale la pena enfatizar que esta prueba de dos líneas es el resultado de la lógica pura. El único axioma que usamos fue Extensionalidad. Y podemos evitar incluso ese axioma, simplemente enunciando el resultado de la siguiente manera: no hay ningún conjunto cuyos miembros sean exactamente los conjuntos que no son miembros de sí mismos . Pero, como observó el propio Russell, un razonamiento exactamente similar te llevará a concluir: ningún hombre se afeita exactamente a los hombres que no se afeitan a sí mismos . O: ningún pug olfatea exactamente los pugs que no se olfatean a sí mismos . Etcétera. Esquemáticamente, la forma del resultado es simplemente:
¬∃x∀z(Rzx ↔ ¬Rzz).
Y eso es solo un teorema (esquema) de lógica de primer orden.
Entonces puede llegar a la conclusión de que el problema no es con la teoría de conjuntos sino con la lógica de primer orden:
En consecuencia, no podemos evitar la paradoja de Russell simplemente jugando con nuestra teoría de conjuntos; surge incluso antes de que lleguemos a la teoría de conjuntos. Si vamos a usar la lógica de primer orden (clásica), simplemente tenemos que aceptar que no existe un conjunto R = { x : x ∉ x }. El resultado es este. Si desea aceptar la comprensión ingenua mientras evita la inconsistencia, no puede simplemente jugar con la teoría de conjuntos . En su lugar, tendría que revisar su lógica .
Button, T. Teoría de conjuntos: una introducción abierta. Recuperado el 4 de octubre de 2019 de Open Logic Project en http://builds.openlogicproject.org/courses/set-theory/settheory-screen.pdf
Para acumular la respuesta de Arno, la no contención realmente no tiene nada que ver con el tamaño. Tener miembros de todos los tamaños es una prueba simple, pero no es la razón básica por la que un conjunto no se puede contener. En realidad es bastante indirecta. Pasar de un hecho al otro implica formalmente conjuntos que tienen cardinalidades, los cardenales son ordinales y la paradoja de Burali-Forti.
El conjunto de todos los números enteros no definibles en menos de sesenta letras tampoco es contenible, aunque claramente solo tiene números enteros positivos. Pero si fuera un conjunto, de enteros positivos tendría un elemento mínimo, y precipitaría la Paradoja de Berry .
(En símbolos, supongamos que definimos la operación 'sin comillas' análoga a la comilla grave de Linux en el lenguaje de nuestra teoría de conjuntos. Sea `s` lo contrario de citar, en el sentido de que toma una cadena s y devuelve la interpretación de esa cadena en el lenguaje ordinario de la teoría de conjuntos y la aritmética (totalmente complementada con operaciones con cadenas, operadores ínfimos y supremos, etc.)
Ahora definamos la cadena B = "{x:∀t`t`=x→|t|>25}", (donde || toma la longitud de una cadena). Entonces B es el conjunto de cosas que podemos definir en nada menos que 25 símbolos de nuestro lenguaje. Entonces `B` no puede ser un conjunto. Si no contuviera números naturales, entonces cualquier número que pudiéramos definir en 25 o más caracteres, siempre podríamos definirlo en menos, y no necesitaríamos más de 25 caracteres para hacer una definición aritmética. Eso claramente no es cierto. Por lo tanto, contiene un número natural y, por lo tanto, un mínimo. Pero si elegimos que b sea el menor número natural en `B` y dejemos que t = "⋀" + B. Entonces `t` = b, y b está en `B`, pero |t|=19.)
La metáfora del tamaño claramente ya no funciona en la teoría de conjuntos con un Conjunto Universal como Goedel-Bernays-von Neumann. Es una pista falsa total utilizada como excusa, que en realidad no significa nada.
Así que sí, cada paradoja histórica probablemente se puede manipular para generar conjuntos ingenuos que no son conjuntos ZFC. El conjunto de todos los números enteros que enumerarían montones de arena. El conjunto de todas las afirmaciones que pueden hacer los mentirosos. Etc. Hay más errores con nuestra intuición de asignación y definición que simplemente prohibir este conjunto único y evitar infinitos que son de alguna manera 'demasiado grandes'.
Puede afirmar que nociones como 'definible', los significados de las mentiras y la vaguedad de las palabras en inglés no forman parte de la teoría de conjuntos. Pero no hay una buena razón para descartar su traducción a esos términos. Todavía son parte de nuestra noción ingenua general de definición y, por lo tanto, establecen la comprensión. Russell es tan simple que uno puede traducirlo fácilmente a símbolos.
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