¿Por qué el argumento diagonal de Cantor no es simplemente una paradoja?

No hay justificación para uno u otro.

La paradoja de Russell es una paradoja si crees** en la comprensión ilimitada (para cada P hay un conjunto {x | P}), o al menos si crees** que el conjunto {x | x ∉ x} existe. La paradoja de Russel no es una paradoja si la usa para concluir que el conjunto {x | x ∉ x} no existe.

El argumento diagonal de Cantor es una paradoja si crees** que todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad, o al menos si crees** que un conjunto infinito y su conjunto potencia tienen la misma cardinalidad. El argumento diagonal de Cantor no es una paradoja si se usa para concluir que la cardinalidad de un conjunto no es la de su conjunto potencia.

** "creer" aquí no necesita ser interpretado literalmente. Puede sustituirse por, por ejemplo, "tener como axioma de una teoría de conjuntos".

Una paradoja (en este contexto) consiste en dos teoremas que se contradicen.

La paradoja de Russell, por ejemplo, consta de los dos teoremas "R es un elemento de R" y $R no es un elemento de R" (donde R representa el conjunto de Russell.

En el caso de Cantor, tenemos un teorema, a saber, que no hay aplicación sobreyectiva de los números naturales a los números reales. Para que esto sea parte de una paradoja, necesitaríamos un segundo teorema que diga que hay una aplicación sobreyectiva de los números naturales a los números reales. Nadie (o más precisamente nadie que utilice los axiomas estándar de la teoría de conjuntos) ha demostrado tal teorema, por lo que no hay paradoja.

Bien descrito. Resulta que una serie de paradojas tradicionales se basan en lo que se llama el argumento diagonal, y que puede interpretarse como un argumento fijo, como señala el resumen de este artículo de Yanufsky:

Siguiendo a F. William Lawvere, mostramos que muchas paradojas autorreferenciales, teoremas de incompletitud y teoremas de punto fijo caen fuera del mismo esquema simple. Demostramos estas similitudes mostrando cómo este esquema simple abarca las paradojas semánticas y cómo surgen como argumentos diagonales y teoremas de punto fijo en lógica, teoría de la computabilidad, teoría de la complejidad y teoría del lenguaje formal.

De hecho, Yanufsky adopta un enfoque menos sofisticado de Lawvere, quien utiliza la teoría de categorías para establecer el teorema del punto fijo; pero sí alude a ello.

Una interpretación de las paradojas en matemáticas es decir que algo está mal en el marco general utilizado; en el caso de Cantor, tuvo que ampliar su marco 'matemático' para incorporar una nueva noción de infinitos (cardinalidades); y en el caso de Russell ramificó su teoría de tipos; es decir, en lugar de un tipo, había una jerarquía de ellos

La paradoja de Russell usa una combinación de lógica y teoría de conjuntos para "probar" una contradicción: X <- X iff X </- Xafirma que dos declaraciones opuestas son equivalentes. A partir de esto, podemos probar lo que queramos, por el principio de explosión . Si queremos que la teoría de conjuntos sea útil, esto debe resolverse cambiando la teoría de conjuntos para evitar que creemos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Esto va en contra de nuestras creencias previas sobre la teoría de conjuntos.

Por otro lado, la resolución de la contradicción en el argumento de la diagonalización de Cantor es mucho más simple. La resolución es, de hecho, el objeto del argumento: es lo que estamos tratando de probar. La resolución amplía la teoría, en lugar de obligarnos a cambiarla para evitar una contradicción.

El argumento diagonal de Cantor al final demuestra " Si los números enteros y los números reales tienen la misma cardinalidad, entonces tenemos una paradoja". Nótese el gran If en la primera parte. Debido a que la paradoja está condicionada a la suposición de que los números enteros y reales tienen la misma cardinalidad, esa suposición debe ser falsa y los números enteros y reales tienen diferentes cardinalidades.

Ahora, si tuviera que encontrar una prueba de que los números enteros y los números reales tienen la misma cardinalidad, entonces podríamos agregar su prueba y el argumento diagonal de Cantor y tener una paradoja real. Esto es muy poco probable que suceda.

En relación con el comentario de Witrgenstein sobre la prueba, creo que esto es a lo que se refería:

Entre dos conjuntos finitos, decimos que tienen el mismo número de elementos si podemos ponerlos en correspondencia uno a uno. La prueba de Cantor se interpreta en el sentido de que hay cardinalidades de infinitos, siendo los reales de un tipo mayor de infinito. Se considera que representa un descubrimiento importante en la naturaleza de los conjuntos infinitos. Lo que creo que Wittgenstein está diciendo es que no se trata tanto de un descubrimiento sobre conjuntos como de una creación matemática. Al usar términos como "cardinalidad", "conjunto" y "correspondencia uno a uno", hacemos que suene como si hubiéramos descubierto algo sobre ellos, en lugar de construir nuevas formas de estos términos con propiedades diferentes a las habituales. . A sus ojos, el problema puede ser que estés usando el término "set" cuando dices "

La única paradoja relacionada con el argumento diagonal de Cantor es el hecho de que tantos matemáticos creen en él. La primera premisa de Cantor ya es errónea, a saber, que la "lista" puede contener todos los números contables, es decir, los números naturales. No hay un conjunto completo de números naturales en matemáticas, y hay una prueba simple para esa afirmación: hasta cada número natural n , el segmento 1, 2, 3, ..., n es finito y es seguido por potencialmente infinitos más . números naturales. Cantor simplemente demuestra que su premisa es incorrecta.

Pero incluso si aceptamos su idea, nunca obtendremos un "número diagonal" real, porque un número real no está definido por dígitos a menos que haya un último.