Tractatus 3.333 y la paradoja de Russell

La comprensión de Wittgenstein de la teoría del tipo de Russell es muy superficial y confusa, pero haré un esfuerzo por interpretar lo que dice.

Wittgenstein cree que el prototipo de una función determina qué tipo de argumento puede tomar; así es exactamente como algunos lenguajes de programación, como C, definen las funciones. Dado que la función se define de esta manera, si se usa de otra manera, el significado resultante es indefinido:

F(x) se define como una función que toma individuos como argumentos.

G(U(x)) se define como una función que toma funciones de primer orden como argumentos, donde las funciones de primer orden son aquellas que toman solo individuos como argumentos.

Dado que F(x) solo puede tomar individuos como argumentos, el significado de F(F(x)) no está definido.

Supongamos que existe tal cosa como F(F(x)), la función externa toma la función de primer orden como argumentos, la función interna toma los argumentos individuales, por lo tanto, en realidad son funciones diferentes que usan el mismo símbolo.

∃ significa que existe. (∃Φ):F(Φ(u)).Φ(u)=Fu significa que existe una función de primer orden Φ tal que Φ satisface la función de segundo orden F(Φ(u)) y Φ(u) = Fu. Wittenstein trata de mostrar que F(Φ(u)) y Fu son funciones diferentes que tienen en común solo la letra F.

Ignorando el mal uso del simbolismo por parte de Wittgenstein, su argumento se puede simplificar así: designé esta canasta solo para manzanas, por lo tanto, no debe poner canastas en esta canasta, y si ve una canasta dentro de otra canasta, la canasta exterior debe ser totalmente diferente. tipo de cesta. Básicamente, Wittgenstein solo demostró cómo funciona la Teoría de Tipos, pero no pudo explicar los principios y preocupaciones subyacentes que dieron lugar a la Teoría de Tipos.

Whitehead y Russell, en Principia Mathematica , invocaron el principio del círculo vicioso para disipar la paradoja de Russell. El principio del círculo vicioso establece que una totalidad no debe contenerse a sí misma como constituyente porque la totalidad no puede ser determinada hasta que cada uno de sus constituyentes esté determinado; si uno de los constituyentes es la totalidad misma, entonces la totalidad es indeterminada.

El principio del círculo vicioso determina por qué una función no debe tomarse a sí misma como argumento.

Una función Fŷ -obsérvese el sombrero- denota una totalidad. Supongamos que solo hay dos individuos en el mundo, Sócrates y la tierra, entonces las funciones "ŷ es un hombre" denota la totalidad {Sócrates es un hombre, la tierra es un hombre}. De ello se deduce que el significado de Fŷ presupone, o depende de, sus valores.

Fy - sin sombrero aquí - denota uno de los valores de Fŷ cuando y está sustanciado, es decir, "sócrates es un hombre" o "la tierra es un hombre", pero ambiguo. Se sigue que las proposiciones de la forma Fy no deben involucrar a Fŷ porque Fŷ es indeterminada hasta que Fy sea determinada y, si Fy depende de Fŷ, Fy es indeterminada. Por lo tanto, F(Fŷ) no tiene significado.

Se publicó una pregunta similar en SE y la respuesta, que he reproducido aquí:

Wittgenstein alude a cómo Russell mismo resolvió la Paradoja: la teoría de los tipos ramificados. A esto alude en:

3.332 Ninguna proposición puede decir nada sobre sí misma, porque el signo proposicional no puede estar contenido en sí mismo (esa es “toda la teoría de los tipos”).

Y reformula como

3.333 Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo funcional ya contiene el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí mismo.

Un signo funcional es simplemente el signo de la función; siendo la función lo que significa el signo. Él amplía lo que quiere decir con esto:

Si, por ejemplo, suponemos que la función F(fx) podría ser su propio argumento, entonces habría una proposición “F(F(fx))”, y en esta la función exterior F y la función interior F deben tener diferentes significados;

porque el interior tiene la forma g(fx), el exterior la forma h(g(fx)).

Es decir F (F(fx)) es diferente de F( F (fx)) porque en la expresión significan cosas diferentes, es decir tienen significados diferentes o precisamente funciones; y sólo el signo 'F' es común a ambos, como afirma:

Común a ambas funciones es sólo la letra “F”, que por sí sola no significa nada.

y por

Esto es claro de inmediato, si en lugar de “F(F(u))” escribimos “Existe g : F(gu). gu = Fu”.

Aquí se desvanece la paradoja de Russell .

Esta resolución también se analiza en el documento adjunto por el usuario 4894, Wittgensteins Tractatus 3.333 y Russells Paradox de Urmas Sutrop:

Por otro lado, Ostrow apunta que no hay paradoja. “En 'F(F(fx))', la primera 'F' y la segunda no tendrán el mismo significado, ya que, para usar la terminología russelliana, la primera 'F' se extiende sobre funciones proposicionales de tipo n, mientras que la segunda oscila sobre funciones de tipo n + 1” (Ostrow 2002: 66-67). En este caso, las funciones interior y exterior juegan papeles diferentes y la letra F común que denota ambas funciones no es confusa en absoluto. Este es un enfoque muy prometedor, pero desafortunadamente la fórmula de Wittgenstein “(∃φ) : F(φu) . φu = Fu” no se discute en absoluto en este documento.

Ostrow, Matthew B. (2002) Tractatus de Wittgenstein: una interpretación dialéctica .

Estoy un poco fuera de lugar, hay que decirlo, pero encuentro la solución de Russell más como un yeso y prefiero la solución dada por su colega George Spencer Brown. Al propio Russell pareció gustarle, aunque no pareció entender del todo su significado.

La razón sería que la paradoja surge en la metafísica, donde la solución de R no ayuda, pero la solución de GSB funciona. La teoría de tipos/clases me parece una chapuza técnica, pero tal vez esto solo se deba a que no soy matemático.

Perdón si esto está fuera de tema.