Una pregunta sobre la invariancia galileana de las leyes de Newton

La relatividad galileana generalmente se discute en el contexto de la mecánica newtoniana. La dinámica se rige por las leyes de Newton. La relatividad galileana se refiere a la cinemática y dice que las leyes dinámicas son covariantes con respecto a las transformaciones galileanas. En otras palabras, su forma es invariable. Tienes razón.

Tal vez sería útil verlo desde un punto de vista matemático más abstracto. En la cosmovisión galileana, el espacio-tiempo es un espacio afín de 4 dimensiones$A^4$. Afín básicamente significa que todos los puntos son iguales y tienes que elegir algún punto si quieres trabajar en$\mathbb{R} \times \mathbb{R^3}$.

Esto solo dice que debe elegir el origen de su sistema de coordenadas en un espacio tridimensional y en algún momento$t=0$como origen en el tiempo.

A continuación, define sus métricas porque desea poder medir cosas. Distancia espacial entre dos puntos en$\mathbb{R \times R^3}$Se define como

Distancia en el tiempo, es decir, el intervalo de tiempo se define como

En esta imagen, la primera ley de Newton simplemente significa que los marcos de referencia inerciales forman una clase de equivalencia de sistemas de coordenadas en$A^4$con orígenes moviéndose con velocidad constante entre sí. Más precisamente, en un marco de referencia inercial, la distancia al origen de cualquier otro marco de referencia inercial es una función lineal del tiempo.

La segunda ley de Newton nos dice que cualquier movimiento que no esté gobernado por una función lineal en el tiempo, debe tener su movimiento determinado por una fuerza , una cantidad ( en general, una función del espacio y el tiempo ) que debe ser proporcional a la velocidad en que el cuerpo cambia su velocidad. La constante de proporcionalidad es lo que llamamos masa .

La tercera ley de Newton tiene menos relevancia aquí, pero enunciémosla en aras de la exhaustividad. Dice que cuando un cuerpo está actuando sobre otro con alguna fuerza, el segundo cuerpo está actuando sobre el primero de tal manera que cuando se suman vectorialmente, las fuerzas suman cero.

Tenga en cuenta que todas estas leyes son, en esencia , libres de coordenadas, puede entenderlas sin tener que imaginar un sistema de coordenadas, porque hablan de conceptos que son invariantes cuando su espacio tiene la estructura galileana. A la hora de escribir las ecuaciones hay que introducir coordenadas en algún momento si se quiere sacar algún número del cálculo, pero las coordenadas son simplemente una herramienta , algo muy habitual en matemáticas, porque sabemos trabajar con números. y cómo hacer álgebra y cálculo simple.

Para concluir, siempre que tenga cantidades invariantes de Galileo , como la aceleración o la fuerza , esos términos deben permanecer exactamente iguales en todos los sistemas de coordenadas. Estas cantidades dependen únicamente de la estructura galileana del espacio-tiempo.

Por otro lado, las cantidades covariantes de Galileo , como la velocidad y la posición, cambiarán, pero de acuerdo con las transformaciones de Galileo. Estas cantidades dependen de su elección de sistemas de coordenadas y no están definidas en$A^4$.