Marvin el marciano contra la Estrella de la Muerte: ¿cuánta energía necesitarán realmente para desintegrar la Tierra?

Según un análisis detallado de Dave Typinski , el modulador espacial explosivo Illudium Q-36 de Marvin the Martian requerirá$1.711 \cdot 10^{32}~\text{J}$para romper la Tierra en una nube de polvo primordial gravitacionalmente libre. Sin embargo, esta energía es un 30% menor que la energía de enlace gravitacional derivada del modelo de densidad promedio estimado en$2.24 \cdot 10^{32}~\text{J}$. Lo que parece irracional: si la Tierra estuviera en un estado de menor energía con una distribución de densidad uniforme, ¿cómo evolucionó su gradiente de densidad en primer lugar? ¿No estaría evolucionando hacia una distribución de densidad homogénea en ese caso?

Curtis Sexton y Wikipedia parecen estar de acuerdo con mi razonamiento sobre este punto: según los cálculos de Curtis Saxton, la salida del arma del rayo de la Estrella de la Muerte tendría que exceder$2.4 \cdot 10^{32}~\text{J}$para impartir velocidad de escape a toda la materia que comprende un planeta similar a la Tierra.

Ambos no pueden tener razón, entonces, ¿quién gana? Apuesto por la Estrella de la Muerte, pero aún no he encontrado el error en los cálculos de Dave para Marvin. ¿Alguien aquí tiene las habilidades analíticas para ver dónde se equivocó o, alternativamente, dónde me perdí?

Aquí está la estimación matemática de Dave para Marvin:

Primero ofrece una ecuación para compilar las capas de varias densidades de los datos PREM en una suma de

dónde$r$es la distancia radial desde el centro de la Tierra y

las diversas constantes se indican a continuación:

$i$. Capa; Altura$h_i$(metro);$a_i$($kg \cdot m^{-5}$);$b_i$($kg \cdot m^{-4}$);$c_i$($kg \cdot m^{-3}$)

1 núcleo interior; 1.2215×10$^{6}$; -2.1773×10$^{-10}$1.9110×10$^{-8}$1.3088×10$^{4}$

2 Núcleo exterior; 3.4800×10$^{6}$; -2.4123×10$^{-10}$; 1.3976×10$^{-4}$; 1.2346×10$^{4}$

capa 3D''; 3.6300×10$^{6}$; 0,00; -5.0007×10$^{-4}$; 7.3067×10$^{3}$

4 Manto Inferior; 5.7010×10$^{6}$; -3.0922×10$^{-11}$; -2.4441×10$^{-4}$; 6.7823×10$^{3}$

5 Zona de transición interior 1; 5.7710×10$^{6}$; 0,00; -2.3286×10$^{-4}$; 5.3197×10$^{3}$

6 Zona de transición interior 2; 5.9710×10$^{6}$; 0,00; -1.2603×10$^{-3}$; 1.1249×10$^{4}$

7 Zona de transición exterior; 6.1510×10$^{6}$; 0,00; -5.9706×10$^{-4}$; 7.1083×10$^{3}$

8 Zona de baja velocidad y tapa; 6.3466×10$^{6}$; 0,00; 1.0869×10$^{-4}$; 2.6910×10$^{3}$

9 Corteza interior; 6.3560×10$^{6}$; 0,00; 0,00; 2.9000×10$^{3}$

10 Corteza exterior; 6.3680×10$^{6}$; 0,00; 0,00; 2.6000×10$^{3}$

11 océano; 6.3710×10$^{6}$; 0,00; 0,00; 1.0200×10$^{3}$

Usando las distribuciones de densidad real para cada capa de caparazón:

Y calculando para cada punto.$h$a cualquier distancia radial dada desde el exterior hacia el interior, con los límites interior y superior$h_1$y$h_2$respectivamente, da:

Así que para cada$i^{th}$capa:

Y para cada punto a una distancia radial de$r$tenemos:

dónde$ΔU_0$= 0 y las constantes indexadas para cada parte de la función se describen en la tabla anterior.

Esto produce:

-1.711×10$^{32}~\text{J}$

¡Muchas gracias a cualquiera que pueda explicar cómo esto salió mal!