¿Por qué no se usa la regla del producto en la definición de trabajo mecánico?

Question

¿Por qué no se usa la regla del producto en la definición de trabajo mecánico?

yunghummmma

La potencia mecánica se define normalmente como $P = \mathrm{d}W/\mathrm{d}t$ , y el trabajo normalmente se define como $W = \vec F \cdot \vec x$ . Hoy, un estudiante universitario señaló una confusión que tenía del libro E&M de Griffiths donde tiene la línea

PAG = \frac{d W}{d t} = \vec{F} \cdot \vec{v}

$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \vec F \cdot \vec v$

Que es una definición de poder que había visto antes. Pero el estudiante estaba confundido porque parece que si tienes una fuerza dependiente del tiempo $\vec F(t)$ , las matemáticas deberían funcionar como:

PAG = \frac{d W}{d t} = \frac{d \vec{F} (t)}{d t} \cdot \vec{X} + \vec{F} \cdot \frac{d \vec{X} (t)}{d t}

$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec F(t)}{\mathrm{d}t} \cdot \vec x + \vec F \cdot \frac{\mathrm{d}\vec x(t)}{\mathrm{d}t}$

(De la regla del producto).

Sin embargo, nunca he visto la fórmula anterior, así que supongo que está mal. Además, choca con la $\vec F \cdot \vec v$ versión que estoy bastante seguro de que funciona completamente bien con una fuerza dependiente del tiempo.

Le di una respuesta bastante débil y le advertí que probablemente no sea correcta: le dije que si comienzas con la forma diferencial de trabajo, $dW = \vec F \cdot d \vec x$ , parece suponer que la fuerza permanece igual en ese diminuto $d\vec x$ , por lo que es constante allí, y luego dividiendo ambos por $dt$ te da la ecuación que estamos buscando.

Wikipedia parece decir algo similar, básicamente usando el paso de $d\vec x = \vec v \ dt$ Llegar $\vec F \cdot \vec v$ , que también supone que $\vec v$ es constante sobre $d \vec x$ .

Entonces, suponiendo que uno de esos sea correcto, veo cómo se vuelven $\vec F \cdot \vec v$ . Pero, ¿cuál es la falla en la regla del producto?

Juan Alexiou

Trabajo es

d W = \vec{F} \cdot d \vec{x}

${\rm d}W = \vec{F} \cdot {\rm d} \vec{x}$ como se aplica a pequeños incrementos de desplazamiento. Si utiliza

W = \vec{F} \cdot \vec{x}

$W= \vec{F} \cdot \vec{x}$ está haciendo suposiciones de fuerza constante y de trayectoria lineal.

Juan Alexiou

Tenga en cuenta que

\frac{d \vec{F}}{d t} = 0

$\frac{ {\rm d} \vec{F} }{ {\rm d}t} = 0$ ya está integrado en la epxression

W = \vec{F} \cdot \vec{x}

$W= \vec{F} \cdot \vec{x}$ .

Respuestas (1)

¿Por qué no se usa la regla del producto en la definición de trabajo mecánico?

Trabajo es ${\rm d}W = \vec{F} \cdot {\rm d} \vec{x}$ como se aplica a pequeños incrementos de desplazamiento. Si utiliza $W= \vec{F} \cdot \vec{x}$ está haciendo suposiciones de fuerza constante y de trayectoria lineal.
Tenga en cuenta que $\frac{ {\rm d} \vec{F} }{ {\rm d}t} = 0$ ya está integrado en la epxression $W= \vec{F} \cdot \vec{x}$ .

joshfísica · Answer 1

El error en el razonamiento original proviene de afirmar que $W=\vec F\cdot \vec x$ . Esto solo es cierto si la fuerza es constante.

Para una partícula que viaja a lo largo de una curva parametrizada $\vec x(t)$ y bajo la influencia de una fuerza $\vec F(\vec x,t)$ que depende explícitamente tanto de la posición en el espacio como en el tiempo, el trabajo realizado sobre la partícula por esta fuerza desde un tiempo $t_0$ a un tiempo $t$ se define de la siguiente manera:

\begin{aligned} W_{t_{0}} (t) = \int_{t_{0}}^{t} \vec{F} (\vec{X} (t^{'}), t^{'}) \cdot \dot{\vec{X}} (t^{'}) d t^{'} \end{aligned}

$\begin{align} W_{t_0}(t) = \int_{t_0}^{t} \vec F(\vec x(t'),t')\cdot \dot{\vec x}(t') \,dt' \end{align}$ Tenga en cuenta que la expresión de la derecha a menudo se escribe

\int \vec{F} \cdot \vec{d} x

$\int \vec F\cdot \vec dx$ , pero esto es realmente esquemático, la definición matemáticamente precisa es lo que he escrito anteriormente en términos de una ruta parametrizada con una integral en algún rango de valores de parámetros. La definición de potencia instantánea es entonces

\begin{aligned} PAG (t) = {\dot{W}}_{t_{0}} (t) \end{aligned}

$\begin{align} P(t) = \dot W_{t_0}(t) \end{align}$ Tomando la derivada de ambos lados con respecto a

t

$t$ , y utilizando el teorema fundamental del cálculo, obtenemos la expresión deseada para la potencia

\begin{aligned} PAG (t) = F (\vec{X} (t), t) \cdot \dot{\vec{X}} (t) \end{aligned}

$\begin{align} P(t) = F(\vec x(t),t)\cdot \dot{\vec x}(t) \end{align}$

Creo $F$ no tiene que ser constante sino dirección constante.
@ShuchangZhang Eso simplemente no es cierto. Si desea sacar la fuerza fuera de la integral, entonces no debe tener una dependencia no trivial del espacio o el tiempo.
$\int\vec F\cdot d\vec x$ es preciso si lo entiendes como notación simbólica para la forma 1 $\sum_i F_i dx^i$
@Christoph De acuerdo, aunque dudo en decir esas cosas en una respuesta como esta, ya que creo que pocos de los que se confundirían con la pregunta también entenderían las formas diferenciales. Gracias por el comentario.

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yunghummmma

Juan Alexiou

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