¿La Relatividad Galileana ya está incluida en las Leyes de Newton?

La relatividad galileana no se cumple automáticamente en la mecánica newtoniana. Tiene razón en que las dos primeras leyes de Newton parecen ser invariantes a primera vista bajo las transformaciones galileanas, pero una transformación galileana solo transforma las coordenadas espaciales, en realidad no le dicen cómo se transforman las fuerzas.

Si sus leyes de fuerza solo tienen fuerzas que dependen solo de la posición relativa y la velocidad relativa, entonces su ley de fuerza es relativista galileana en combinación con la primera y la segunda ley. Su ley de fuerza también podría depender de escalares invariantes galileanos como la masa o el tiempo, que es donde todo se vuelve bastante problemático.

Para ser una teoría relativista, todas las leyes (incluidas las leyes que explican las fuerzas, como la ley de gravitación universal de Newton) deben tener exactamente la misma forma en cada marco de inercia. Básicamente, si puede escribir sus leyes sin preguntar primero en cuál de los muchos marcos equivalentes se encuentra, entonces está bien. Si no puedes, entonces no eres una teoría relativista.

"¿dónde entra este principio de la relatividad de Galileo en la Mecánica Clásica? ¿Es algo que ya se sigue trivialmente de las leyes como estoy suponiendo o es algo que hay que añadir como otro axioma de la teoría?"

Esto es difícil de responder, porque el principio especial de la relatividad (o el principio de la relatividad de Galilei) es un concepto algo confuso en la literatura, porque en realidad hay dos o más variantes del mismo. Al menos está el original "todo movimiento es relativo, no hay un marco especial", y luego está la idea moderna de Einstein "la forma de todas las leyes básicas, cuando se formula de la manera más simple, es invariante al cambiar los marcos de inercia". La respuesta depende de qué principio de relatividad estemos hablando.

Originalmente, Galilei infirió de ejemplos que el movimiento es relativo; en su ejemplo particular, que es imposible detectar el movimiento suave de un barco desde el interior de un barco, porque todos los procesos internos proceden de la misma manera ya sea que el barco esté en los muelles o navegando suavemente en el mar.

Entonces Poincaré definió el principio especial de la relatividad: todas las leyes de los fenómenos físicos son las mismas para todos los observadores que se mueven en movimiento de traslación o en reposo; de modo que detectar este movimiento o reposo es imposible para un observador que está en el marco en movimiento pero solo puede estudiar fenómenos físicos dentro del marco (no se permite mirar hacia afuera).

Por lo tanto, el núcleo de la idea es que es imposible detectar el movimiento con respecto al espacio absoluto (o algún marco de referencia universal único). Formulémoslo aquí de esta manera:

Los procesos físicos en un sistema mecánico ocurren de la misma manera, ya sea que el sistema esté en reposo o moviéndose rectilíneamente con respecto al espacio absoluto (o cualquier marco de referencia inercial preseleccionado). (*)

Las leyes de Newton son compatibles con el PR, pero no lo requieren. Ninguno puede derivarse del otro. Uno puede tener un universo donde:

• Las leyes de Newton son válidas y PR es válida; por ejemplo, sistema de partículas con solo fuerzas entre partículas que dependen solo de diferencias de posición, el conjunto de ecuaciones

• Las leyes de Newton son válidas y PR no es válida; por ejemplo, un universo con un marco de referencia preferido que genera fuerza de fricción$-k\mathbf v$para todo cuerpo que se mueve con velocidad$\mathbf v$con respecto a este cuadro. El conjunto de ecuaciones (válido en cualquier marco) es

dónde$\mathbf v_f$es la velocidad del marco preferido. Un ejemplo similar sería un universo con una fuerza magnética global.$(\mathbf v - \mathbf v_f)\times \mathbf C$dónde$\mathbf C$es algún vector independiente de la posición. El observador puede decir que se está moviendo en función de los efectos de estas fuerzas definidas por el marco.

Entonces, con el principio de relatividad definido como (*), en realidad es más una declaración sobre nuestro universo que las leyes de Newton (las tres leyes sin gravitación) no capturan.

Pero hay otro significado del principio de relatividad aludido anteriormente; la afirmación de Einstein:

Si se elige un sistema de coordenadas K de modo que, en relación con él, las leyes físicas sean válidas en su forma más simple, las mismas leyes serán válidas en relación con cualquier otro sistema de coordenadas K' que se mueva en traslación uniforme con respecto a K. ( * *)

Esto se interpreta muy a menudo como una restricción de las posibles leyes del movimiento que relacionan cantidades físicas básicas$Q_1,Q_2,...$entre sí y con el espacio y el tiempo.

Pero esta forma del principio de relatividad es bastante vaga/inútil por sí sola. Es fácil demostrar que todos los universos de juguete anteriores obedecen a esta variante de PR; incluyendo aquellos con un marco preferido. Entonces esta declaración es demasiado general: permite universos con marcos preferidos.

¿Se sigue esta afirmación de las leyes de Newton? Si incluimos la transformación de Galilei, entonces probablemente sí; es difícil imaginar una ley que relacione masas, posiciones, velocidades y aceleraciones de partículas que no obedezcan a un requisito tan general. Al introducir variables adicionales (velocidad del marco preferido) siempre se puede hacer que la forma de las ecuaciones sea la misma en todos los marcos.

Por ejemplo, este es el caso incluso para las ecuaciones de campos de Maxwell, cuando se utiliza la transformación de Galilei; uno puede encontrar la forma general invariante de Galilei de las ecuaciones que presentan la velocidad del éter (que se simplifica a las ecuaciones estándar de Maxwell en el marco del éter). Por supuesto, esta conformidad con el principio de relatividad (**), o "invariancia de Galilei" de las ecuaciones, no era prueba alguna de que la forma de las ecuaciones fuera correcta. La invariancia de Galilei requiere una velocidad de la luz infinita o dependiente del marco, lo cual fue refutado por experimentos.

La segunda ley de Newton en una dimensión para una fuerza conservativa (de modo que exista una función de energía potencial) dice: m*d^2 x/dt^2 = -dV(x)/dx ...(1) Si haces una transformación de coordenadas como x'=x-vt, donde v es una constante,

d^2x/dt=d^2(x'+vt)/dt

y d/dx= d/d(x'+vt),

Entonces (1) se transforma como m*d^2 (x'+vt)/dt^2 = -dV(x'+vt)/d(x'+vt).

Esto parece trivial, pero el efecto es el de cambiar la escala de las coordenadas de posición en función del tiempo, y la naturaleza del enunciado de la segunda ley de Newton aún se conserva.

Otra forma: (Esta era la segunda ley de Newton en su forma original)

m*d^2x/dt^2=dp/dt

con la transformación x'=x-vt

dx'/dt=dx/dt => m dx'/dt=m dx/dt = p=p'

=> dp'/dt=m*(d^2x'/dt^2)

Esto muestra que la segunda ley de Newton es invariante bajo transformaciones de Galileo.

PD: Tomé demasiado café y dormí muy poco anoche mientras examinaba las notas de la conferencia sobre la relatividad especial y respondía cruelmente a esta pregunta. Finalmente tuve la oportunidad de editar la respuesta.