¿Por qué el Lagrangiano de una partícula libre no puede depender de la posición o del tiempo, explícitamente?

En P. 5 en § 3 del libro de Mecánica de Landau & Lifshitz, se afirma que

[...] para una partícula libre, la homogeneidad del espacio y el tiempo implica que el lagrangiano no puede depender de la posición o del tiempo, explícitamente.[...]

Sin embargo, a mi entender, el Lagrangiano de un sistema es la función que determina la ecuación de movimiento, es decir, dadas unas las condiciones iniciales y el Lagrangiano del sistema, podemos determinar la configuración futura del sistema, como en el caso de la segunda ley de Newton. .

Sin embargo, también sabemos que al agregar una constante a nuestro Lagrangiano, o una derivada temporal de una función de posición y tiempo, la ecuación de movimiento no cambia, por lo tanto, obtenemos un Lagrangiano "equivalente" en el sentido de que ambas funciones conducen a la misma conclusión acerca de la dinámica del sistema en cuestión.

Dado esto, no puedo entender por qué el Lagrangiano de una partícula libre no puede depender de la posición o el tiempo, explícitamente.

Quiero decir que está claro que si ese es el caso, tenemos un Lagrangiano simple que satisface todas las propiedades que esperarías que tuviera; sin embargo, por qué este es el único caso que puede tener una partícula libre como lagrangiana.

Nota: he leído esta pregunta, pero todavía no puedo entender por qué el origen tendría un estado privilegiado en ese caso.

¿Puede mostrar cómo la suma de las dependencias propuestas sobre la posición y el tiempo da como resultado las mismas ecuaciones si hay movimiento? No estoy seguro de estar siguiendo.
@AaronStevens No pretendo decir tal cosa. Solo digo que no puedo ver cómo tener una posición o una dependencia del tiempo en nuestro Lagrangiano conduce a una contracción oa una violación de uno de nuestros principios.
@AaronStevens Quiero decir, por ejemplo, si tenemos una ecuación diferencial a mano, puedes decir que F ( X ) es una solución de este DE, pero no significa que sea la única solución. Similar a esto, puedo ver que k ( v 2 ) es un Lagrangiano agradable posible para la partícula libre, sin embargo, ¿por qué otro Lagrangiano no es posible?

Respuestas (2)

Una partícula libre no tiene fuerzas externas actuando sobre ella. Por lo tanto, la cantidad de movimiento y la energía se conservan. Por el Teorema de Noether , esto significa que el sistema tiene simetría de traslación espacial y temporal. Si el Lagrangiano tiene posición explícita o dependencia del tiempo, entonces este no puede ser el caso.

También tenga en cuenta que agregar una constante al Lagrangiano no es lo mismo que agregar una posición explícita o una dependencia del tiempo.

En última instancia, parece que el libro presenta un argumento físico en lugar de uno matemático. Existen transformaciones que terminan haciendo las mismas ecuaciones de movimiento, pero si quieres interpretar el Lagrangiano como la diferencia entre la energía cinética y potencial, entonces no quieres una dependencia explícita de la posición y el tiempo. Si hubiera esta dependencia, entonces esto significaría que la partícula ya no es libre.

Amigo, estoy al principio del libro. Según la teoría que he desarrollado hasta ahora, no existe la teoría de Noether, ni energía, ni momento.
@onurcanbektas He agregado más información.
Sin embargo, dos lagrangianos equivalentes pueden diferir en alguna función d F ( X , t ) / d t , y en tal caso, ∂ L ( v ) d X = 0 , pero ∂ L ( X , v , t ) ′ d t = ∂ [ L ( v ) + d F ( X , t ) / d t ] ∂ X ≠ 0 .
@onurcanbektas estás diciendo porque d F d t tiene un X ˙ ¿dependencia?
No X ˙ , pero X .
@onurcanbektas d F d t = ∂ F ∂ X X ˙ + ∂ F ∂ t
Comentario menor a la respuesta (v6): Ese parece ser el teorema de Noether inverso.
@Qmechanic Estaba pensando más en cómo, si hay una dependencia de estas variables, entonces debe estar interactuando con algo.

Intentaré evitar la jerga: si el lagrangiano es explícitamente independiente en una coordenada, como la posición o el tiempo, entonces se conservan los momentos canónicos correspondientes de esa coordenada. Entonces, para una partícula libre no hay fuerzas externas actuando sobre ella, por lo que el Lagrangiano solo tiene un término de energía cinética que depende solo de la velocidad de la partícula. Así, la energía se conserva porque el tiempo no aparece en el lagrangiano y el momento lineal se conserva porque la posición no aparece en el lagrangiano.

Como dijiste, puedes agregar una derivada temporal de una función que satisfaga las ecuaciones de Euler-Lagrange, pero esto no te otorga el privilegio de imponer una dependencia explícita del tiempo o la posición.

sin embargo, por qué este es el único caso que puede tener una partícula libre como lagrangiana.

Creo que esta es una pregunta mucho más profunda de lo que podría darse cuenta: resulta que, en general, los lagrangianos no son matemáticamente únicos, pero en términos de producir las ecuaciones de movimiento correctas para algún sistema, solo funcionan ciertos lagrangianos. Es un problema abierto de física teórica responder "¿por qué estos langrangianos para estos sistemas?" y actualmente no hay una respuesta obvia aparte de que funciona para producir las ecuaciones de movimiento correctas (verificado experimentalmente).

Sobre su primer párrafo, el libro trata de entender la forma del lagragiano de una partícula libre, y nosotros al principio del libro; Su argumento depende de lo que se va a desarrollar, por lo que, en cierto sentido, su argumento es circular, porque todo lo que se derivará dependerá de esta interpretación, por lo que no puede usar esas derivaciones para explicar esto.
Quiero decir, acabo de decir lo mismo que AaronStevens pero en un lenguaje más simple, ¿y no pareció importarte la jerga que él sacó casi al final de tu libro...? El primer párrafo es solo para establecer un poco de contexto, pero el núcleo de mi respuesta es el último párrafo donde abordo su pregunta "por qué": es una pregunta que actualmente no tiene respuesta. Y el primer párrafo no es mi interpretación, es como es: por definición, una partícula libre solo tiene energía cinética, por lo que el lagrangiano solo tiene un término de energía cinética. Es realmente así de simple.
¿Por qué el Lagrangiano de una partícula libre no puede depender de la posición o del tiempo, explícitamente?
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