¿Por qué la invariancia galileana implica que las partículas que comienzan a descansar permanecen en la misma línea?

Estoy leyendo Arnold'd para estudiar por mi cuenta. Estoy luchando con esta pregunta: "Muestre que cualquier sistema de dos partículas permanecerá en la misma línea que las conectó en el momento inicial, si comenzaron en reposo". Mi argumento es el siguiente:

Establezca coordenadas tales que el$x$puntos del eje a lo largo de la línea, y el$y$y$z$Los ejes se configuran arbitrariamente para formar un sistema de coordenadas ortonormales. Suponiendo que las posiciones y velocidades de las partículas se encuentran completamente a lo largo de la$x$eje, podemos aplicar cualquiera de las siguientes transformaciones de coordenadas 1.$(t, x, y, z) \to (t, x, -y, z)$y 2.$(t, x, y, z) \to (t, x, y, -z)$. Estas transformaciones no cambian las posiciones y velocidades relativas ya que$y = z = 0$para ambas partículas, y de manera similar no cambian las velocidades relativas. Las transformaciones obviamente conservan intervalos de tiempo y las distancias entre eventos simultáneos por lo que son galileanos. Dado que las fuerzas solo pueden depender de posiciones y velocidades relativas, y las fuerzas son invariantes bajo las transformaciones de Galileo, el componente de las fuerzas en cada partícula a lo largo de los ejes y y z es cero, ya que este es el número único$x$tal que$-x = x$. Así que las fuerzas de las partículas apuntan a lo largo de la$x$-eje en el momento inicial. Más tarde, cuando las partículas se han movido a lo largo de la$x$-eje, ganando algo de velocidad a lo largo de este eje, las fuerzas aún apuntan a lo largo del$x$-eje. "Por lo tanto", las partículas permanecen en el$x$eje.

El problema con este argumento es el último "Por lo tanto,". Por ejemplo, deja$y(t)$ser el$y$-componente de la distancia relativa entre las partículas en el tiempo$t$. Entonces, sabemos que$y(0) = 0$,$y'(0) = 0$y el argumento anterior muestra que$\forall t \in \mathbb{R}, y(t) = 0 \land y'(t) = 0 \implies y''(t) =0$, pero obviamente uno no puede concluir que$y$es constantemente 0 ya que las terceras derivadas pueden introducir cambios en$y$. Por ejemplo la función$y = t^3$, cumple ambas condiciones. Esto parece sugerir que el teorema es falso, ya que si nombramos las partículas 1 y 2, podemos definir$\mathbb{f}_1 = R(\mathbb{x}_2 -\mathbb{x}_1)$y$\mathbb{f}_2= R^{-1}(\mathbb{x}_1 - \mathbb{x}_2)$dónde$R$es una matriz de rotación que no mantiene ningún eje fijo. Estas fuerzas son invariantes bajo traslaciones de tiempo, rotaciones y traslaciones espaciales, por lo tanto, son invariantes bajo todas las transformaciones de Galileo. Sin embargo, una elección apropiada para R permite que las partículas ganen velocidad a lo largo de cualquier eje.