¿Por qué la energía cinética es un punto fijo de la transformación de Legendre?

Que el lagrangiano tenga la forma tradicional

$$\mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{\dot{q}^2}{2} - V(q) \, ,$$

dónde$V(q)$representa la energía potencial. Vemos que la condición

$$\frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\partial q} = - \frac{\partial V(q)}{\partial q} = 0$$

describe los extremos del hamiltoniano

$$H(p,q) = p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{p^2}{2} + V(q) \, , \quad \text{where} \qquad p = \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\partial \dot{q}} \, .$$

Dado que la transformación de Legendre se define como sup, es decir, para cada punto de evaluación$p$tenemos

$$f^*(p) = \sup_{\dot{q}} \left( p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t)\right) \, ,$$

el hecho de que la transformada de Legendre mapee la energía cinética a sí misma equivale a decir que el punto donde se desvanece la energía potencial, que es un extremo del Lagrangiano, será también un extremo del Hamiltoniano. Esto es fundamental, ya que los puntos fijos deben tener las mismas propiedades de estabilidad en las formulaciones lagrangianas o hamiltonianas: un equilibrio inestable en la descripción lagrangiana debe mapearse a un equilibrio inestable en la descripción hamiltoniana, etc. La definición de la transformada de Legendre como un supremo garantiza que la gráfica de$f^*(p)$será convexo, estando acotado arriba/abajo por los puntos donde$V(q)=0$, es decir, por la energía cinética.

Todo lo anterior se puede generalizar a funciones no convexas usando duales convexos, pero no sé lo suficiente como para elaborarlo.

Con respecto a su interés en las transformaciones de Legendre fuera de las formulaciones de mecánica sin coordenadas (sin hablar de termodinámica aquí), diría que simplemente no son útiles. Las transformadas de Legendre no tienen ningún significado en la mecánica newtoniana aparte de su mapeo abstracto de puntos en líneas, lo cual es bastante inútil a menos que su formulación se lleve a cabo en un paquete cotangente.