Una pregunta sobre grupos: ¿puedo sustituir una operación binaria con una función?

Tengo una pregunta fundamental sobre los grupos. Considere la definición de Wolfram Mathematica:

Un grupo es un conjunto finito o infinito de elementos junto con una operación binaria (llamada operación de grupo) que juntos satisfacen las cuatro propiedades fundamentales de cierre, asociatividad, propiedad de identidad y propiedad inversa.

En esta definición, ¿puedo sustituir una operación binaria con una función, digamos algo como F ( a , b ) dónde F ¿No es necesariamente un operador simple como la suma?

Una operación binaria en un conjunto S es una funcion F : S × S → S . Nosotros escribimos a b o a + b (este último suele reservarse para grupos abelianos) en lugar de F ( a , b ) porque es más corto, pero incluso la suma de los números enteros se puede considerar como una función de esta manera.
¿Tu pregunta es realmente sobre grupos, o en realidad estás preguntando '¿Qué puede ser una operación binaria?'
Mi pregunta es sobre la operación binaria en el contexto de la teoría de grupos.
A veces, las funciones que surgen en contextos especiales reciben nombres específicos; además de la función vainilla , uno normalmente se encuentra con términos como operación , operador , mapa , transformación y transformación .
Para ser pedante, el término "grupo algebraico" generalmente se refiere a un tipo particular de grupo, como se establece en el artículo de Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_group

Respuestas (2)

Un par de puntos. Primero, escribes "puedo sustituir una operación binaria con una función". Tenga en cuenta que una operación binaria es una función que satisface algunas propiedades adicionales. Y hay muchos contextos en los que no es algo tan simple como sumar. Uno de los primeros ejemplos de grupos abstractos que encuentra son los grupos de permutaciones, donde la operación es la composición de permutaciones. De hecho, este es solo uno de los muchos ejemplos en los que los elementos del grupo son funciones de algún tipo (en este caso, una permutación es solo una biyección en un conjunto finito). Dado que la composición de funciones rara vez es abeliana, esta es una forma en que la estructura no abeliana surge "en la naturaleza". Si quieres ser lindo al respecto, por el teorema de Cayley de que todos los grupos finitos se incrustan en un grupo de permutación, todosLas leyes de grupo sobre grupos finitos se pueden considerar como composición de funciones.

NKS, lo lograste. Gracias a todos.
En el contexto de las acciones grupales, el teorema de Cayley se vuelve aún más simple de enunciar: dice que cada grupo está completamente determinado por la acción grupal del grupo de permutación de su conjunto subyacente sobre sí mismo.

Supongo que la mayor razón para escribir a + b / a b es la ley de asociatividad parece ordenada.

Aquí está la notación de función para la asociatividad: F ( a , F ( b , C ) ) = F ( F ( a , b ) , C ) .

Aquí está la notación 'normal' ( a b ) C = a ( b C ) - ¿Cuál se ve mejor?

Creo que la notación a + b et a b son muy antiguos, así que supongo que las cosas sucedieron al revés: la notación a + b y a b existió durante mucho tiempo, y en algún momento (cuando llegó el álgebra abstracta) nos dimos cuenta de que la asociatividad era lo que hacía que la notación del 'operador binario' fuera más práctica que la de función.
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