Axiomas alternativos para grupos.

Los axiomas habituales que he visto para un grupo son: asociatividad; existencia de identidad de dos caras; existencia de inversas de dos caras para todos los elementos.

∀ a , b , C ∈ GRAMO : a ( b C ) = ( a b ) C
∃ mi ∈ GRAMO , ∀ a ∈ GRAMO : a mi = a = mi a
∀ a ∈ GRAMO ∃ a ′ ∈ GRAMO : a a ′ = mi = a ′ a

Recientemente me encontré con una axiomatización diferente y no había pruebas de equivalencia. Ellos fueron: asociatividad; existencia de identidad de izquierda; existencia de inversas por la izquierda.

∀ a , b , C ∈ GRAMO : a ( b C ) = ( a b ) C
∃ mi ∈ GRAMO , ∀ a ∈ GRAMO : mi a = a
∀ a ∈ GRAMO , ∃ a ′ ∈ GRAMO : a ′ a = mi

¿Son estos equivalentes? Lo dudo un poco, ya que tenemos semigrupos asociativos con identidades izquierda pero no derecha, pero tal vez la parte izquierda-inversa cambie las cosas.

Había una prueba de que, dados estos axiomas, un inverso por la izquierda es un inverso por la derecha y, por lo tanto, el axioma original de los inversos está probado, pero ¿qué pasa con la identidad por la derecha?

Prueba: Deja gramo ∈ GRAMO entonces gramo tiene inversa izquierda, llámela gramo ′ ∈ GRAMO y esto también tiene un inverso a la izquierda, llámalo gramo ″ ∈ GRAMO . Entonces, gramo ′ gramo = mi , gramo ″ gramo ′ = mi y entonces

gramo gramo ′ = mi gramo gramo ′ = gramo ″ gramo ′ gramo gramo ′ = gramo ″ gramo ′ = mi
entonces gramo ′ es el inverso derecho de gramo también.

Todos los semigrupos son asociativos.
Sí, punto justo en el idioma. Quise enfatizar que estos satisfacen 2/3 de los axiomas de grupo alternativos.
La palabra "magma" sería más apropiada entonces.
Puedo editar si lo desea, pero ¿tiene alguna idea sobre la pregunta?
@Shaun un monoide?
Una identidad de izquierda mi satisface, dada la existencia de inversas, a mi = a a ′ a = mi a = a , para a ∈ GRAMO
No, @HennoBrandsma; en un monoide, hay una identidad correcta ( a saber , la identidad) y el OP especifica (incorrectamente) que no hay identidades correctas.
No dije que nada careciera de identidades por la derecha, excepto ciertos semigrupos, lo cual era cierto: sea X un conjunto y defina la multiplicación por xy=y, entonces tenemos asociatividad e identidades por la izquierda pero no por la derecha.
Vale la pena señalar que necesita incluso menos. La asociatividad es bastante poderosa. Si tiene división izquierda y derecha (es decir, ∀ a , b ∃ ! C , d a = b C ∧ a = d b ) de lo que ya tiene un elemento de identidad.

Respuestas (1)

Estoy de acuerdo con la prueba de que el inverso izquierdo (wrt la identidad izquierda) también es un inverso derecho.

Ahora deja mi Sea el inverso izquierdo y gramo ∈ GRAMO . Entonces

gramo mi = gramo ( gramo ′ gramo ) = ( gramo gramo ′ ) gramo = mi gramo = gramo
donde usamos eso gramo ′ es de ambos lados.

Entonces mi es también una identidad correcta.

¡Aquí vamos! Genial, no lo vi yo mismo. Supongo que encuentro un poco extraño establecer que los inversos son de dos caras antes que la identidad, ya que ¿qué es una inversa por la derecha si la identidad no es de dos caras?
@JoshuaTilley trabajas con la inversa de la identidad izquierda (la única que tenemos al principio) y gramo ′ tiene dos caras por eso y ese mismo hecho permite entonces esta doble identidad, es decir, que mi es la identidad de la derecha también.
Entiendo el argumento. Mi punto es que por sí solo, a a ′ = mi por una identidad de izquierda arbitraria mi no hace a ′ comportarse como un derecho inverso, ese era mi punto. Por supuesto, dados los otros requisitos, según su respuesta.
Axiomas alternativos para grupos.
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