Ejemplo de grupos no isomorfos con álgebras de grupos isomorfos

Question

Ejemplo de grupos no isomorfos con álgebras de grupos isomorfos

Bhaskar Vashishth

A continuación se muestra la construcción de dos grupos no isomorfos, $G_1$ y $G_2$ tal que $KG_1 \cong KG_2$ para cualquier campo $K$ .

(Mis dudas yacen dentro.)

Considere dos grupos

$Q_1=\langle x_1,y_1,z_1\ |\ x_1^5=y_1^5=z_1^5=1, [x_1,y_1]=z_1, z_1\ \text{is central}\ \rangle$

$Q_2=\langle x_2,y_2,z_2\ |\ x_2^5=z_2^5=1, y_2^5=z_2, [x_2,y_2]=z_2, z_2\ \text{is central}\ \rangle$ .

y deja $\langle u_1\rangle$ ser grupo cíclico de orden $4$ y $\langle u_2\rangle$ ser grupo cíclico de orden $2$ .

Ahora definiendo acciones de $u_i$ en $Q_j$ $(i,j\in \{1,2\})$ como sigue-

X_{j}^{{tu}_{i}} = X_{j}, y_{j}^{{tu}_{i}} = y_{j}^{24} z_{j}^{{tu}_{i}} = z_{j}^{24}

$x_j^{u_i}=x_j,\\y_j^{u_i}=y_j^{24}\\ z_j^{u_i}=z_j^{24}$

Ahora escriba esta acción, podemos definir productos semidirectos $Q_i \rtimes \langle u_j\rangle$ y por lo tanto tiene sentido hacer grupos

{GRAMO}_{1} = q_{1} ⋊ ⟨ {tu}_{1} ⟩ \times q_{2} ⋊ ⟨ {tu}_{2} ⟩ {GRAMO}_{2} = q_{1} ⋊ ⟨ {tu}_{2} ⟩ \times q_{2} ⋊ ⟨ {tu}_{1} ⟩

$G_1=Q_1 \rtimes \langle u_1\rangle\times Q_2 \rtimes \langle u_2\rangle\\G_2=Q_1 \rtimes \langle u_2\rangle\times Q_2 \rtimes \langle u_1\rangle$

Ahora tengo que demostrar que $G_1\ncong G_2$ , pero sus álgebras racionales son isomorfas.

ahora ambos $G_1$ y $G_2$ tiene el mismo orden, es decir $125\times 125\times 8=125000$ .

¿Cómo debo hacer para probar $G_1 \ncong G_2$ ?

Lo que sé, es que al definir $y_i^{x_i}=y_iz_i^{-1}$ y $z_i^{x_i}=y^{-1}z^{-1}y$ Podemos ver eso $Q_i= \langle y_i,z_i \rangle \rtimes \langle x_i \rangle$ .

Ahora, Para Darse Cuenta- $G_i'=\langle y_1,z_1\rangle \times \langle y_2,z_2\rangle$ y $(G_i)^{(5)}=\langle z_2\rangle$ .

Ahora, calculando escribiendo explícitamente $[a,b]$ para cualesquiera dos elementos arbitrarios de $G_i$ es un proceso muy tedioso, y mientras lo intentaba todavía no podía ver cómo $x_i's$ fue eliminado y $[a,b]\in \langle y_1,z_1\rangle \times \langle y_2,z_2\rangle$ . ¿Hay un método más corto?

Si supongamos que probamos la parte " Realizar " , entonces Si $G_1 \cong G_2$ , debe implicar $C_{G_1}(z_2) \cong C_{G_2}(z_2)$ . Ahora no es difícil comprobar que $C_{G_1}(z_2)=Q_1\langle u_1\rangle \times Q_2$ y $C_{G_2}(z_2)=Q_1\langle u_2\rangle \times Q_2 \langle u_1^{2}\rangle$ .

ahora silow $2$ -subgrupo de $C_{G_1}(z_2)=Q_1\langle u_1\rangle \times Q_2$ y $C_{G_2}(z_2)=Q_1\langle u_2\rangle \times Q_2 \langle u_1^{2}\rangle$ ambos son de orden $4$ pero el primero es cíclico, es decir $\langle u_1 \rangle \times \langle 1 \rangle$ y el último es no cíclico, es decir $\langle u_2 \rangle \times \langle u_1^2 \rangle$ . Así contradice $C_{G_1}(z_2) \cong C_{G_2}(z_2)$ , por lo tanto probamos que $G_1 \ncong G_2$

Ahora, todo mi problema radica en la parte de Realizar . ¿Hay una mejor manera de calcular $G_i'$ y $(G_i)^{(5)}$ .

Ahora, Passman ha probado que para cualquier campo $K$ , álgebras de grupo $KG_1 \cong KG_2$ . La prueba es muy tediosa y difícil, pronto me estaré ahogando en eso, pero antes de eso me preguntaba si hay algún campo, preferiblemente de características. $0$ , tal vez $\Bbb{Q}$ o $\Bbb{C}$ , para lo cual dos álgebras de grupos ( $KG_1$ y $KG_2$ , para los grupos antes mencionados) son isomorfos, se realizan rápidamente o se prueban con más facilidad que recogiendo el caso de campo arbitrario.

Gracias de antemano por cualquier aporte que pueda ofrecer.

PD: si algo no tiene sentido, podría ser un error tipográfico, ya que fue mucho escribir. Por favor, déjame saber si algo te está molestando.

Mariano Suárez-Álvarez

Puede usar cualquier invariante de un álgebra de grupos para mostrar que dos álgebras de grupos no son isomorfas, en característica cero o no. Por ejemplo, el número de clases de conjugación es una invariante del álgebra, el número de representaciones unidimensionales, etc. En general, su pregunta »Me preguntaba si hay algún campo\puntos» no se puede decir mucho más que esto.

jeremy rickard

Me confunde que primero dices que los grupos no son isomorfos pero tienen álgebras racionales isomorfas, pero luego dicen que tienen álgebras de grupo no isomorfas en todos los campos. ¿Estás seguro de que no se supone que esto sea un ejemplo de grupos no isomorfos tales que

K G_{1}

$KG_1$ es isomorfo a

K G_{2}

$KG_2$ para cada campo

K

$K$ ?

Bhaskar Vashishth

@JeremyRickard Gracias por sugerir eso. Fue un error. Ahora lo he corregido. Escribir tanto, detiene la actividad cerebral.:P. En mi mente tengo isomorfismo de álgebras, pero estaba usando el símbolo

≆

$\ncong$ . Fue un error muy pesado y confuso, pido disculpas

Ofir Schnabel

"Me preguntaba si hay algún campo, preferiblemente de característica 0, puede ser ℚ o ℂ, para el cual dos álgebras de grupo son isomorfas". Claramente, para cualesquiera dos grupos abelianos del mismo orden, sus álgebras de grupos complejos son isomorfas.

Bhaskar Vashishth

@OfirSchnabel Quise decir algún campo

K

$K$ para cual

K G_{1} ≅ K G_{2}

$KG_1 \cong KG_2$ se realiza rápidamente para dicho grupo.

Respuestas (1)

Ejemplo de grupos no isomorfos con álgebras de grupos isomorfos

Puede usar cualquier invariante de un álgebra de grupos para mostrar que dos álgebras de grupos no son isomorfas, en característica cero o no. Por ejemplo, el número de clases de conjugación es una invariante del álgebra, el número de representaciones unidimensionales, etc. En general, su pregunta »Me preguntaba si hay algún campo\puntos» no se puede decir mucho más que esto.
Me confunde que primero dices que los grupos no son isomorfos pero tienen álgebras racionales isomorfas, pero luego dicen que tienen álgebras de grupo no isomorfas en todos los campos. ¿Estás seguro de que no se supone que esto sea un ejemplo de grupos no isomorfos tales que $KG_1$ es isomorfo a $KG_2$ para cada campo $K$ ?
@JeremyRickard Gracias por sugerir eso. Fue un error. Ahora lo he corregido. Escribir tanto, detiene la actividad cerebral.:P. En mi mente tengo isomorfismo de álgebras, pero estaba usando el símbolo $\ncong$ . Fue un error muy pesado y confuso, pido disculpas
"Me preguntaba si hay algún campo, preferiblemente de característica 0, puede ser ℚ o ℂ, para el cual dos álgebras de grupo son isomorfas". Claramente, para cualesquiera dos grupos abelianos del mismo orden, sus álgebras de grupos complejos son isomorfas.
@OfirSchnabel Quise decir algún campo $K$ para cual $KG_1 \cong KG_2$ se realiza rápidamente para dicho grupo.

timmy · Answer 1

Como señaló Mariano, se puede decir de inmediato que no son isomorfos al considerar varios de sus invariantes de álgebra.

Saber que son isomorfos suele ser más complicado. Aunque tenga en cuenta que, como señaló Ofir, todos los grupos abelianos del mismo orden sobre $\mathbb{C}$ (o cualquier campo con una raíz primitiva con el orden de los grupos en cuestión) tienen álgebras de grupo isomorfas.

La razón de esto es que las álgebras de grupo se pueden escribir como una suma de módulos. Una condición necesaria y suficiente para $kG_1\cong kG_2$ es que ambos admiten descomposiciones de módulos que son equivalentes a espacios vectoriales: basta con hacer coincidir las dimensiones y multiplicidades de cada factor. Como ejemplo, sobre $\mathbb{C}$ el álgebra de grupos de $D_8$ —el grupo diédrico de orden 8—y $Q$ —el grupo de cuaterniones de orden 8— son isomorfos ya que tienen el mismo número de representaciones irreducibles unidimensionales y bidimensionales, y no tienen representaciones irreducibles superiores. La forma de alto nivel de afirmar esto es decir que las dos categorías de representación tienen anillos de Grothendieck isomórficos .

Por supuesto, conociendo la $k$ -La teoría de la representación de los grupos en cuestión puede no ser algo tan simple, pero no hay una forma real de evitar ese problema si desea establecer el isomorfismo.

Hay una situación (más restrictiva) para la cual la pregunta está bastante bien investigada, y esa es la situación de los grupos isocategóricos . Dos grupos son isocategóricos cuando sus $\mathbb{C}$ -las categorías de representación son monoidalmente equivalentes (importantemente, la estructura de simetría del producto tensorial no se conservará si los grupos no son isomorfos). Esta es una declaración más fuerte que tener anillos de Grothendieck isomórficos: $Q$ y $D_8$ no son isocategóricos. De hecho, el documento vinculado muestra que cualquier grupo que sea isocategórico a un grupo no isomorfo necesariamente tiene un subgrupo normal abeliano de orden una potencia de 4 que puede equiparse con un cierto isomorfismo (la falta de este isomorfismo es lo que detiene $Q$ siendo isocategórico a $D_8$ ).

Para sus grupos particulares, observe que no pueden ser isocategóricos: no tienen subgrupos normales abelianos potencia de 4. Tienen subgrupos abelianos de orden 4, pero no son normales.

Entonces, para sus dos grupos particulares, está prácticamente obligado a calcular las categorías de representación (sobre $\mathbb{C}$ , decir). Sus grupos deberían ser relativamente fáciles de calcular esto: tratar con los productos directos es trivial y los productos semidirectos deberían ser rutinarios (inducir representaciones de $Q_i$ arriba). La única parte potencialmente difícil es descifrar las representaciones de $Q_1$ y $Q_2$ , pero si alguna vez has intentado construir una tabla de personajes para un grupo, ese es un buen punto de partida. Tenga en cuenta que sus subgrupos de conmutadores son fáciles de encontrar, por lo que sus grupos de caracteres lineales son fáciles de calcular.

¡Gran respuesta! Pequeño punto: tenga en cuenta que tener el mismo conjunto múltiple de grados de caracteres es un poco más débil que tener anillos de Grothendieck isomórficos, porque el anillo de Grothendieck también captura el producto tensorial de irreps. (Considere los grupos abelianos). Entonces char. mesa > anillo Grothendieck > multijuego de char. grados (donde ">" = "es al menos tanta información como"). Para $Q, D_8$ tienen las mismas tablas de caracteres, pero esto es mucho más fuerte de lo necesario para tener álgebras de grupos isomorfas.

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Bhaskar Vashishth

Mariano Suárez-Álvarez

jeremy rickard

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Ofir Schnabel

Bhaskar Vashishth

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timmy

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