Una pregunta sobre el término superficial de los campos fantasma

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Una pregunta sobre el término superficial de los campos fantasma

usuario26143

(saltar descargo de responsabilidad)

Hola, tengo una pregunta en la teoría de cuerdas de Polchinski vol I p 90, después de introducir los campos fantasma $b_{ab}$ y $c^a$ , es reclamado

Entonces, las ecuaciones de movimiento proporcionan una condición de contorno en $b_{ab}$ . Tienen un término superficial
$\begin{matrix} (3.3.28) & \int_{\partial METRO} d s {norte}^{a} b_{a b} d C^{b} = 0 \end{matrix}$ $\int_{\partial M} ds n^a b_{ab} \delta c^b=0 \tag{3.3.28}$

Simplemente no sé de dónde viene. Hay alguna condición de contorno $n_a c^a=0 (3.3.26)$ pero con diferentes índices. Cómo ver la Ec. (3.3.28) se mantiene?

Respuestas (2)

Una pregunta sobre el término superficial de los campos fantasma

Trimok · Answer 1

Respuesta parcial:

Creo que el problema, en el libro de Polchinski, es que los términos $g^{z \bar z} (=2)$ , se escriben sistemáticamente de forma no explícita, es decir, en lugar de : $\frac{1}{4 \pi}g^{z \bar z}$ , Polchinkski escribe: $\frac{1}{2 \pi}$

Así, por ejemplo, la expresión correcta en $(3.3.24)$ es :

S = \frac{1}{4 π} \int d^{2} z ({gramo}^{\bar{z} z} b_{z z} \partial_{\bar{z}} C^{z} + {gramo}^{z \bar{z}} b_{\bar{z} \bar{z}} \partial_{z} C^{\bar{z}})

$S = \frac{1}{4 \pi} \int d^2z (g^{\bar z z}b_{zz} \partial_\bar z c^z + g^{z \bar z }b_{\bar z \bar z} \partial_z c^\bar z)$

Ahora porque $b_{z \bar z}=0$ , porque $b$ es sin rastro, y $g^{zz}=g^{\bar z \bar z}=0$ , esto es realmente un invariante, es decir:

S = \frac{1}{4 π} \int d^{2} z ({gramo}^{i j} b_{j k} \partial_{i} C^{k})

$S = \frac{1}{4 \pi} \int d^2z (g^{ i j}b_{jk} \partial_ i c^k)$ , dónde (

i, j = z, \bar{z}

$i,j = z, \bar z$ )

Ahora, un invariante es un invariante, por lo que podrías escribirlo con ( $i,j = \sigma^1, \sigma^2$ ), si lo desea, entonces, con notaciones de Polchinski:

S = \frac{1}{2 π} \int d^{2} σ ({gramo}^{C a} b_{a b} \partial_{C} C^{b})

$S = \frac{1}{2 \pi} \int d^2 \sigma (g^{ ca}b_{ab} \partial_c c^b)$ ,

Entonces el término límite aparece como:

d B \sim \int d s {gramo}^{C a} {norte}_{C} b_{a b} d C^{b} = \int d s {norte}^{a} b_{a b} d C^{b}

$\delta B \sim \int ds~ g^{ ca} n_c ~b_{ab} ~\delta c^b = \int ds ~ n^a ~b_{ab} ~\delta c^b$

$b^{z \bar z} =\partial_1 z ~\partial_1 \bar z b^{11} + \partial_1 z ~\partial_2 \bar z b^{12} + \partial_2 z ~\partial_1 \bar z b^{21} + \partial_2 z ~\partial_2 \bar z b^{22} = \frac{1}{4} (b^{11} + i b^{12} - i b^{21} + b^{22})$ . $b$ es sin rastro y simétrico, por lo tanto, en la métrica euclidiana $g_{ab}$ , esto significa que : $b_{12}= b_{21}$ y $b^{11} + b^{22} = 0$ . Así que finalmente , $b^{z \bar z} = 0$ . Con una demostración analógica, obtenemos $b^{\bar z z } = 0$ .
Llegar $b_{z \bar z}$ o $b_{ \bar z z}$ , simplemente aplicamos la métrica $g_{z \bar z}$ $2$ veces a las cantidades $b^{z \bar z},b^{\bar z z }$ . Entonces $b_{z \bar z}$ y $b_{ \bar z z}$ son cero también;

Frederic Brunner · Answer 2

Frederic Brunner

Para obtener este término, debe aplicar la integración parcial con respecto a una de las coordenadas de la acción. Esto te deja con una integral sobre dos dimensiones (con la derivada cambiada de $c$ a $b$ ) y una integral sobre una dimensión. Si ahora varías el segundo término con respecto a $c$ y adquieres la Ec. 3.3.28.

usuario26143

Perdona, ¿a qué acción de "to the action" te refieres?

Frederic Brunner

La acción (de calibre fijo) de los campos fantasmas, dada por la ecuación. 3.3.24.

usuario26143

En (3.3.28), hay un término

\int_{\partial M} d s n^{z} b_{z \bar{z}} δ c^{\bar{z}}

$\int_{\partial M} ds n^z b_{z \bar{z}} \delta c^{\bar{z}}$ no proviene de (3.3.24)(?), ¿por qué no afecta la validez de (3.3.28)?

Frederic Brunner

3.3.28 se sigue de 3.3.24 por integración parcial y el principio variacional, como ya he explicado.

usuario26143

Lo siento, de la variación de

z

$z$ en (3.3.24), después de integrar la derivada total de

z

$z$ y

\bar{z}

$\bar{z}$ de la integración por partes, obtuve

\frac{1}{2 π} \int d z \int_{\partial \bar{z}} b_{z z} d C_{z} + \frac{1}{2 π} \int d \bar{z} \int_{\partial z} b_{\bar{z} \bar{z}} d C^{\bar{z}}

$\frac{1}{2\pi} \int dz \int_{\partial \bar{z} } b_{zz} \delta c_z + \frac{1}{2\pi} \int d\bar{z} \int_{\partial z } b_{\bar{z} \bar{z}} \delta c^{\bar{z}}$ , no recuperar (3.3.28)...

Frederic Brunner

Algo está mal en tu notación, no puedes tener dos signos integrales y solo un elemento infinitesimal

d z

$dz$ .

usuario26143

Quiero decir

d S_{gramo} = \frac{1}{2 π} \int d^{2} z b_{z z} \partial_{\bar{z}} d C_{z} + \frac{1}{2 π} \int d^{2} z b_{\bar{z} \bar{z}} \partial_{z} d C^{\bar{z}} = \frac{1}{2 π} \int d^{2} \partial_{\bar{z}} (b_{z z} d C_{z}) - (\partial_{\bar{z}} b_{z z}) d C_{z} + \frac{1}{2 π} \int d^{2} z \partial_{z} (b_{\bar{z} \bar{z}} d C^{\bar{z}}) - \partial_{z} (b_{\bar{z} \bar{z}}) d C^{\bar{z}} = \frac{1}{2 π} \int d^{2} z \partial_{\bar{z}} (b_{z z} d C_{z}) + \frac{1}{2 π} \int d^{2} z \partial_{z} (b_{\bar{z} \bar{z}} d C^{\bar{z}})

$\delta S_g = \frac{1}{2\pi} \int d^2 z b_{zz} \partial_{\bar{z}} \delta c_z + \frac{1}{2\pi} \int d^2 z b_{\bar{z} \bar{z}} \partial_z \delta c^{\bar{z}} = \frac{1}{2\pi} \int d^2 \partial_{\bar{z}} ( b_{zz} \delta c_z) - (\partial_{\bar{z}} b_{zz} ) \delta c_z + \frac{1}{2\pi} \int d^2 z \partial_z ( b_{\bar{z} \bar{z}} \delta c^{\bar{z}} ) - \partial_z ( b_{\bar{z} \bar{z}} ) \delta c^{\bar{z}} = \frac{1}{2\pi} \int d^2 z \partial_{\bar{z}} ( b_{zz} \delta c_z) + \frac{1}{2\pi} \int d^2 z \partial_z ( b_{\bar{z} \bar{z}} \delta c^{\bar{z}} )$

usuario26143

= \frac{1}{2 π} \int d z b_{z z} d C_{z} | + \frac{1}{2 π} \int d \bar{z} b_{\bar{z} \bar{z}} d C^{\bar{z}} |

$= \frac{1}{2\pi} \int d z b_{zz} \delta c_z| + \frac{1}{2\pi} \int d \bar{z} b_{\bar{z} \bar{z}} \delta c^{\bar{z}}|$ , aquí

|

$|$ es el valor superior resta el valor inferior del rango de integración. (Solo considero variación para

c^{z}

$c^z$ y

c^{\bar{z}}

$c^{\bar{z}}$ , hay algunos errores tipográficos en los índices covariantes/concovariantes) En realidad, ¿podría proporcionar algunos pasos de derivación en su respuesta?...

Frederic Brunner

Bueno, todavía hay algunas fallas, por ejemplo, que eliminó los términos que no son de límite, pero, sin embargo, lo que tiene al final son las expresiones correctas para los términos de límite. Ahora solo tienes que convertirlos a la notación de Polchinski haciendo uso de sus consideraciones sobre los vectores tangenciales y normales.

usuario26143

¿Quieres decir dejar

\hat{n} = (- d \bar{z}, d z)

$\hat{n}=(-d\bar{z},dz)$ (de aesop.phys.utk.edu/strings/str02.pdf p28), (3.3.28) significa

d \bar{z}

$d\bar{z}$ viene de

{norte}^{1} b_{11} d C^{1} + {norte}^{1} b_{12} d C^{2} + \dots

$n^1 b_{11} \delta c^1 + n^1 b_{12} \delta c^2 + \cdots$ . En firma euclidiana,

b_{11} = b^{11}, b_{12} = b^{12}

$b_{11}=b^{11},b_{12}=b^{12}$ y de

σ^{1} = \frac{z + \bar{z}}{2}

$\sigma^1=\frac{z+\bar{z}}{2}$ y

σ^{2} = \frac{z - \bar{z}}{2 i}

$\sigma^2=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ , nosotros (o yo) tenemos

b^{11} = \frac{1}{4} (b^{z z} + 2 b^{z \bar{z}} + b^{\bar{z} \bar{z}})

$b^{11}=\frac{1}{4} (b^{zz} + 2 b^{z\bar{z}} + b^{\bar{z} \bar{z}} )$ y

b^{12} = \frac{1}{4 i} (b^{z z} - b^{\bar{z} \bar{z}})

$b^{12}=\frac{1}{4i} ( b^{zz} - b^{\bar{z} \bar{z}})$ , pero hay una contribución de

b^{z \bar{z}}

$b^{z\bar{z}}$

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