Cuantización BRST de la partícula puntual: funciones de signo de estructura (Polchinski)

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Cuantización BRST de la partícula puntual: funciones de signo de estructura (Polchinski)

brst
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Física
teoria de las cuerdas
cálculo variacional
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gwouner

Actualmente estoy estudiando teoría de cuerdas y me encontré con un montón de problemas interrelacionados en el contexto de la cuantificación BRST que no puedo resolver por mí mismo, aunque me esforcé durante algunos días.

La pregunta se refiere a la ec. (4.2.20) del libro de texto de Polchinski. En la ec. (4.2.1) define las funciones de estructura de la siguiente manera

\begin{matrix} (4.2.1) & [d_{α}, d_{β}] = F_{α β}^{γ} d_{γ} \end{matrix}

$[\delta_\alpha,\delta_\beta]=f^\gamma_{\alpha\beta}\delta_\gamma\tag{4.2.1}$

En el siguiente cálculo utilizo precisamente esta definición. En la subsección sobre la cuantificación BRST de la partícula puntual, Polchinski calcula el conmutador de dos transformaciones de calibre. Traté de verificar la ec. (4.2.20) usando

\begin{matrix} (4.2.19) & d_{τ_{1}} X^{m} (τ) = - d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} X^{m} (τ) \end{matrix}

$\delta_{\tau_1}X^\mu(\tau)~=~-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau X^\mu(\tau) \tag{4.2.19}$ de la ecuación (4.2.19) como sigue

\begin{aligned} [d_{τ_{1}}, d_{τ_{2}}] X^{m} (τ) & = d_{τ_{1}} (d_{τ_{2}} X^{m} (τ)) - d_{τ_{2}} (d_{τ_{1}} X^{m} (τ)) \\ = [- d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} (d_{τ_{2}} X^{m} (τ))] - [- d (τ - τ_{2}) \partial_{τ} (d_{τ_{1}} X^{m} (τ))] \\ = [- d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} (- d (τ - τ_{2}) \partial_{τ} X^{m} (τ))] - [- d (τ - τ_{2}) \partial_{τ} (- d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} X^{m} (τ))] \\ = [d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} d (τ - τ_{2}) - d (τ - τ_{2}) \partial_{τ} d (τ - τ_{1})] \partial_{τ} X^{m} (τ) \\ = \int d τ_{3} (- 1) [d (τ_{3} - τ_{1}) \partial_{τ_{3}} d (τ_{3} - τ_{2}) - d (τ_{3} - τ_{2}) \partial_{τ_{3}} d (τ_{3} - τ_{1})] (- d (τ - τ_{3}) \partial_{τ} X^{m} (τ)) \\ \equiv \int d τ_{3} F_{τ_{1} τ_{2}}^{τ_{3}} d_{τ_{3}} X^{m} (τ) \end{aligned}

$\begin{align} [\delta_{\tau_1},\delta_{\tau_2}]X^\mu(\tau)&=\delta_{\tau_1}(\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau))-\delta_{\tau_2}(\delta_{\tau_1}X^\mu(\tau))\\[2pt] &=\left[-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau(\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau))\right]-\left[-\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau(\delta_{\tau_1}X^\mu(\tau))\right]\\[2pt] &=\left[-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau(-\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau X^\mu(\tau))\right]-\left[-\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau(-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau X^\mu(\tau))\right]\\[2pt] &=\left[\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau\delta(\tau-\tau_2)-\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau\delta(\tau-\tau_1)\right]\partial_\tau X^\mu(\tau)\\[2pt] &=\int\mathrm{d}\tau_3\,(-1)\left[\delta(\tau_3-\tau_1)\partial_{\tau_3}\delta(\tau_3-\tau_2)-\delta(\tau_3-\tau_2)\partial_{\tau_3}\delta(\tau_3-\tau_1)\right]\left(-\delta(\tau-\tau_3)\partial_\tau X^\mu(\tau)\right)\\[2pt] &\equiv\int\mathrm{d}\tau_3\,f^{\tau_3}_{\tau_1\tau_2}\delta_{\tau_3}X^\mu(\tau) \end{align}$

donde las funciones de estructura están dadas por

F_{τ_{1} τ_{2}}^{τ_{3}} = (- 1) [d (τ_{3} - τ_{1}) \partial_{τ_{3}} d (τ_{3} - τ_{2}) - d (τ_{3} - τ_{2}) \partial_{τ_{3}} d (τ_{3} - τ_{1})]

$f^{\tau_3}_{\tau_1\tau_2}=(-1)\left[\delta(\tau_3-\tau_1)\partial_{\tau_3}\delta(\tau_3-\tau_2)-\delta(\tau_3-\tau_2)\partial_{\tau_3}\delta(\tau_3-\tau_1)\right]$

Al pasar de la tercera a la cuarta línea, los términos de la forma $\partial_\tau\partial_\tau X^\mu(\tau)$ Cancelar. En la penúltima línea introduje un $\delta$ -distribución para obtener $\delta_{\tau_3}X^\mu(\tau)$ . Comparando mis funciones de estructura con eq. (4.2.21), hay un signo diferente. En la segunda línea de la ec. (4.2.20) el signo menos aparentemente aparece de la nada. ¿Puedes darle sentido a esto? ¿O hay un error en mis cálculos? Obviamente, el signo de las funciones de estructura influye directamente en el signo de la variación BRST del c-fantasma en la ec. (4.2.22e).

Bien puede ser que echo de menos la madera para los árboles ya que estoy intentando unos días. Supongo que cometí un error tonto, pero no puedo ver dónde. ¡Sería bueno si alguien pudiera ayudarme con estos problemas!

Respuestas (2)

Cuantización BRST de la partícula puntual: funciones de signo de estructura (Polchinski)

qmecanico · Answer 1

El problema es esencialmente el mismo que el de la otra pregunta Phys.SE de OP , es decir, el orden de las operaciones: la segunda transformación BRST "actúa dentro" de la primera transformación BRST, por lo que

\begin{aligned} [d_{τ_{1}}, d_{τ_{2}}] X^{m} (τ) & = d_{τ_{1}} (d_{τ_{2}} X^{m} (τ)) - d_{τ_{2}} (d_{τ_{1}} X^{m} (τ)) \\ \overset{(4.2.19)}{=} [- d (τ - τ_{2}) \partial_{τ} (d_{τ_{1}} X^{m} (τ))] - [- d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} (d_{τ_{2}} X^{m} (τ))] \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align} [\delta_{\tau_1},\delta_{\tau_2}]X^\mu(\tau)&~~~=~~~\delta_{\tau_1}(\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau))-\delta_{\tau_2}(\delta_{\tau_1}X^\mu(\tau))\\[2pt] &\stackrel{(4.2.19)}{=}\left[-\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau(\delta_{\tau_1}X^\mu(\tau))\right]-\left[-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau(\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau))\right]\\[2pt] &~~~=~~~\ldots \end{align}$ La segunda línea de OP tiene el orden opuesto, lo que provoca un signo general.

samario28 · Answer 2

Empecemos por el principio: sabemos que si $\delta\tau=\xi$ , entonces nosotros tenemos $\delta X^\mu(\tau)=-\xi\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)$ . Además,

d d X^{m} (τ) = - ξ \overset{\cdot}{ξ} {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ) - ξ^{2} {\overset{\cdot \cdot}{X}}^{m} = - ξ \overset{\cdot}{ξ} {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ)

$\delta\delta X^\mu(\tau)=-\xi\overset{\cdot}{\xi}\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)-\xi^2\overset{\cdot\cdot}{X}^\mu=-\xi\overset{\cdot}{\xi}\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)$ donde en el último paso usé las ecuaciones de movimiento.

La notación condensada utilizada en Polchinski debe reproducir el mismo resultado:

\begin{aligned} d d X^{m} (τ) & = ξ^{α} d_{α} (ξ^{β} d_{β} X^{m}) = ξ^{α} d_{α} (\int d τ_{2} ξ (τ_{2}) d_{τ_{2}} X^{m} (τ)) = - ξ^{α} d_{α} (\int d τ_{2} ξ (τ_{2}) d (τ - τ_{2}) {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ)) \\ = - \int d τ_{1} d_{τ_{1}} (\int d τ_{2} ξ (τ_{2}) d (τ - τ_{2}) {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ)) \end{aligned}

$\begin{align} \delta\delta X^\mu(\tau)&=\xi^\alpha\delta_\alpha(\xi^\beta\delta_\beta X^\mu)=\xi^\alpha\delta_\alpha\left(\int d\tau_2\xi(\tau_2)\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau)\right)=-\xi^\alpha\delta_\alpha\left(\int d\tau_2\xi(\tau_2)\delta(\tau-\tau_2)\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)\right)\\ &=-\int d\tau_1\delta_{\tau_1}\left(\int d\tau_2\xi(\tau_2)\delta(\tau-\tau_2)\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)\right) \end{align}$ Supongamos ahora que

δ_{τ_{1}} (. . .) = - δ (τ - τ_{1}) \partial_{τ} (. . .)

$\delta_{\tau_1}(...)=-\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau(...)$ , entonces vemos que

\begin{aligned} d d X^{m} (τ) & = \int d τ_{1} d τ_{2} ξ (τ_{1}) ξ (τ_{2}) d (τ - τ_{1}) \partial_{τ} (d (τ - τ_{2}) {\overset{\cdot}{X}}^{m}) = \int d τ_{2} ξ (τ) ξ (τ_{2}) \partial_{τ} (d (τ - τ_{2}) {\overset{\cdot}{X}}^{m}) \\ = - \int d τ_{2} \overset{\cdot}{ξ} (τ) ξ (τ_{2}) d (τ - τ_{2}) {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ) = - ξ (τ) \overset{\cdot}{ξ} (τ) {\overset{\cdot}{X}}^{m} (τ), \end{aligned}

$\begin{align} \delta\delta X^\mu(\tau)&=\int d\tau_1d\tau_2\xi(\tau_1)\xi(\tau_2)\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau\left(\delta(\tau-\tau_2)\overset{\cdot}{X}^\mu\right)=\int d\tau_2\xi(\tau)\xi(\tau_2)\partial_\tau\left(\delta(\tau-\tau_2)\overset{\cdot}{X}^\mu\right)\\ &=-\int d\tau_2\overset{\cdot}{\xi}(\tau)\xi(\tau_2)\delta(\tau-\tau_2)\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau)=-\xi(\tau)\overset{\cdot}{\xi}(\tau)\overset{\cdot}{X}^\mu(\tau), \end{align}$ que es exactamente lo que obtuvimos anteriormente. Este cálculo concuerda con su resultado y reproduce el resultado que se obtiene de la forma habitual (sin notación condensada).

Del resultado anterior, vemos que $\delta_{\tau_1}\delta_{\tau_2}X^\mu(\tau)=+\delta(\tau-\tau_1)\partial_\tau\left(\delta(\tau-\tau_2)\partial_\tau X^\mu(\tau)\right)$ , exactamente como lo escribiste.

Estos resultados parecen contradecir la respuesta dada por Qmechanic, pero aparentemente reproducen los resultados correctos.

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gwouner

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samario28

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