bcbcbc CFT Tensor de energía-momento del teorema de Noether

Estoy agregando mi propio cálculo a la mezcla ya que me tomó un tiempo seguir el método de Noether para derivar la ecuación. (13.17) en Blumenhagen, Lüst, Theisen . La configuración es la misma que en Polchinski.

Los campos$b$y$c$tener peso conforme$\lambda$y$1-\lambda$y su acción está dada por

$$S = \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, b \bar \partial c$$

Recuerde que bajo transformaciones conformes$z \rightarrow z+\epsilon(z)$

$$b(z) \rightarrow \left(1 + \frac{\partial \epsilon}{\partial z} \right)^\lambda b(z+\epsilon(z)) = b(z) + \lambda \partial\epsilon(z)b(z) + \epsilon(z)\partial b(z) + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$

y de manera similar para$c(z)$. La forma de derivar las corrientes de Noether es pretender que el parámetro$\epsilon(z)$depende de las coordenadas$z$y$\bar z$. Creo que este punto es un poco sutil ya que estaba asumiendo$\bar \partial \epsilon = 0$usando el hecho de que es una transformación conforme que obviamente no debería depender de$\bar z$. De todos modos, permitiendo tal comportamiento, la variación de$S$entonces es

$$\begin{align} \delta S &= \frac{1}{2\pi} \int d^2z \,[\lambda \partial \epsilon b + \epsilon \partial b]\bar \partial c + b\bar\partial [(1-\lambda)\partial \epsilon c + \epsilon \partial c] \\ &= \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, \left(\lambda \epsilon \partial(b\bar\partial c) + \epsilon \partial b \bar \partial c + (1-\lambda)(b\bar \partial \partial \epsilon c + b\partial \epsilon \bar \partial c) \\+ b \bar \partial \epsilon \partial c + \epsilon b \bar \partial \partial c \right) ~. \end{align}$$

No es difícil verificar que todos los términos se cancelan después de integrar por partes como de costumbre, excepto los dos términos que contienen derivadas barradas de$\epsilon$. Queda uno con la siguiente expresión

$$\begin{align} \delta S &= \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, (1-\lambda)b \bar \partial \partial \epsilon c + b \bar \partial \epsilon \partial c \\ &= \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, \epsilon \bar \partial[(1-\lambda) \partial (bc) - (b\partial c)] \\ &= \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, \epsilon \bar \partial[-\lambda b \partial c + (1-\lambda) \partial b c] \\ &\cong \frac{1}{2\pi} \int d^2z \, \epsilon(z)\partial_{\bar z} T(z)~, \end{align}$$

dónde$T(z)$ahora tiene la forma deseada después de decorarlo con símbolos de orden normal:

$$T(z) = - \lambda :b \partial c: + (1-\lambda) :(\partial b) c:$$

Tienes el coeficiente equivocado delante de$\partial_z(bc)$, esperabas un coeficiente dos veces más alto debido a$\lambda=2$, ¿bien? Pero eso es porque desde el principio, su derivación de Noether fue completamente insensible al valor de$\lambda$, entonces obtuviste un valor aleatorio de$\lambda$por esta derivación.

Su derivación no es sensible al valor correcto de$\lambda$porque la acción inicial puede ser cambiada por cualquier múltiplo de$\partial_z(bc)$que es un "derivado total", y de manera similar para los términos antiholomórficos. Tales sumas de derivadas totales no cambian las ecuaciones de movimiento, pero cambian el coeficiente delante del$\partial(bc)$término en su tensor de tensión-energía derivado de Noether.

No es difícil ver que eqn 2.5.4 ya es descuidado en este tema: solo diferencia$c$pero no$b$, por elección, aunque estos dos campos aparentemente juegan el mismo papel y se intercambian "exactamente" cuando$\lambda\leftrightarrow 1-\lambda$.

Existe el coeficiente "derecho" delante de$\partial(bc)$que uno debería agregar la acción que produce el tensor de tensión-energía correcto de Noether, y esta elección podría quizás "justificarse" como especial. Pero esto es una pérdida de tiempo. Finalmente, desea derivar un tensor de energía de estrés cuántico (hay un orden normal, etc. en él) y el procedimiento de Noether solo está bien para adivinar el "límite clásico" correcto del tensor sin todas las sutilezas cuánticas.

El coeficiente natural delante de$\partial(bc)$en el tensor tensión-energía no se puede adivinar canónicamente por ninguno de los métodos clásicos porque este término se conserva automáticamente, de todos modos: tenga en cuenta que$\partial_z\partial_{\bar z}$actuar sobre una función holomorfa o antiholomórfica se desvanece. El método de Noether es un método para calcular una corriente conservada, por lo que si hay muchas, no necesariamente elige la correcta. La adición correcta debe determinarse exigiendo los OPE correctos o alguna otra condición "totalmente cuántica".

Sin embargo, es una vieja pregunta, escribiría mi cálculo para mi propia referencia.

Según el libro de texto,$b$y$c$los campos se transforman como tensores con pesos$(\lambda,0)$y$(1-\lambda,0)$, por lo que podemos obtener las siguientes variaciones infinitesimales de transformación conforme.

$$z'=z+\epsilon v(z)\\ \delta b\equiv b'(z)-b(z)=-\epsilon(v\partial b+\lambda\partial v b)\\ \delta c\equiv c'(z)-c(z)=-\epsilon(v\partial c+(1-\lambda)\partial v c)$$ Multiplicar $\delta b$y $\delta c$por $\rho(\sigma)$y nos conectamos a la acción, obtenemos $$-\delta S=\frac{\epsilon}{2\pi}\int d^2z\left(\lambda (\bar\partial\rho) v\partial (bc)-(\bar\partial\rho)v(\partial b)c-\lambda (\partial\rho) v\bar\partial (bc)+(\partial\rho)v(\bar\partial b)c\right).$$ Compare esto con la Ec. 2.3.4 en el libro de texto, y tenga en cuenta que $d^2z=2d^2\sigma$, $j^z=2j_{\bar z}$, $j^{\bar z}=2j_z$, nosotros podemos obtener $$T(z)=\frac{j_z}{iv(z)}=(\partial b)c-\lambda\partial(bc)~~(\text{before normal ordering})\\ \tilde T(\bar z)=\frac{j_{\bar z}}{iv^*(\bar z)}=-(\bar\partial b)c+\lambda\bar\partial(bc)~~(\text{before normal ordering})$$ Ahora ponga orden normal y tenga en cuenta que $:bc:$es puramente holomorfa, obtenemos la Ec. 2.5.11.

Todavía hay un problema complicado aquí. El cálculo anterior solo considera la variación de la acción y se olvida de la medida integral. Desde$b$y$c$los campos tienen una escala no trivial aquí, esperaría que hubiera un jacobiano no trivial, pero no sé cómo calcularlo.