Cuantificación BRST (Green, Schwarz, Witten)

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Cuantificación BRST (Green, Schwarz, Witten)

Haz

En Green, Schwarz, Witten Volumen 1, sección 3.2, la cuantificación BRST se presenta de manera general. Álgebra de una mentira $G$ se define con elementos

\begin{matrix} (3.2.1) & [k_{i}, k_{j}] = F_{i j}^{k} k_{k} \end{matrix}

$[K_i,K_j] = f_{ij}{}^k K_k \tag{3.2.1}$ dónde

f_{i j}^{k}

$f_{ij}{}^k$ es la estructura constante. Antifantasmas

b_{i}

$b_i$ y fantasmas

c^{i}

$c^i$ transforme en las representaciones adjuntas y adjuntas duales respectivamente. ellos obedecen

\begin{matrix} (3.2.2) & {C^{i}, b_{j}} = d_{j}^{i} \end{matrix}

$\{c^i,b_j\} = \delta^i_j\tag{3.2.2}$ El operador BRST nilpotente es

\begin{matrix} (3.2.4) & q = C^{i} k_{i} - \frac{1}{2} F_{i j}^{k} C^{i} C^{j} b_{k} \end{matrix}

$Q = c^i K_i - \frac{1}{2}f_{ij}{}^kc^i c^j b_k \tag{3.2.4}$ Los índices aquí están todos sumados.

Esto luego se aplica al álgebra de Virasoro sin carga central.

[L_{metro}, L_{norte}] = (metro - norte) L_{metro + norte}

$[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n}$ dónde

\begin{matrix} (3.1.58) & L_{metro} = L_{metro}^{(α)} + L_{metro}^{(C)} - a d_{metro} \end{matrix}

$L_m = L^{(\alpha)}_m + L^{(c)}_m - a\delta_m \tag{3.1.58}$ La contribución fantasma es

\begin{matrix} (3.1.49) & L_{metro}^{(C)} = \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (metro - norte) b_{metro + norte} C_{- norte} \end{matrix}

$L^{(c)}_m = \sum_{n=-\infty}^\infty(m-n)b_{m+n}c_{-n} \tag{3.1.49}$ Según el libro, el operador BRST es

\begin{aligned} (3.2.11) & q & = \sum_{- \infty}^{\infty} L_{- metro}^{(α)} C_{metro} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) : C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} : - a C_{0} \\ (3.2.12) & = \sum_{- \infty}^{\infty} : (L_{- metro}^{(α)} + \frac{1}{2} L_{- metro}^{(C)} - a d_{metro}) C_{metro} : \end{aligned}

$\begin{align*} Q &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m}c_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n):c_{-m} c_{-n} b_{m+n} : -ac_0 \tag{3.2.11}\\ &= \sum_{-\infty}^\infty :(L^{(\alpha)}_{-m} + \frac{1}{2}L^{(c)}_{-m} - a\delta_m)c_m: \tag{3.2.12} \end{align*}$

Parece que los antifantasmas $b_i$ son ahora $b_m$ , y los fantasmas $c^i$ son ahora $c_{-m}$ , de modo que

\begin{matrix} (3.1.44) & {C_{metro}, b_{norte}} = d_{metro + norte} . \end{matrix}

$\{c_m,b_n\}=\delta_{m+n}\tag{3.1.44}.$ Las constantes de estructura distintas de cero son

f_{m n}^{(m + n)} = (m - n)

$f_{mn}^{(m+n)} = (m-n)$ .

Mi pregunta es : ¿cómo se deriva el término fantasma ordenado normal? Creo que la contribución fantasma al operador Virasoro debería estar ordenada normalmente, ya que la ambigüedad del pedido se adsorbe en $a$ . Entonces, siguiendo la ecuación $(3.2.4)$ ,

\begin{aligned} q & = \sum_{- \infty}^{\infty} C_{- metro} L_{metro} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} \\ = \sum_{- \infty}^{\infty} L_{- metro}^{(α)} C_{metro} + \sum_{- \infty}^{\infty} C_{- metro} L_{metro}^{(C)} - a C_{0} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} \end{aligned}

$\begin{align} Q &= \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \\ &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m} c_{m} + \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L^{(c)}_m - ac_0 - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \end{align}$

insertando $L^{(c)}_m$ , parece que

\begin{aligned} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) C_{- metro} : b_{metro + norte} C_{- norte} : - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} & = - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (metro - norte) : C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} : \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{-\infty}^\infty (m-n) c_{-m}:b_{m+n}c_{-n}: - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty}(m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} &= -\frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n) : c_{-m}c_{-n}b_{m+n}: \end{align}$

No estoy seguro de cómo relacionarlos. Parece que tratar de combinar los dos términos dará una $-3/2$ ya que los operadores son anticonmutantes, así como una suma de divergencia. Quizás ecuación $(3.1.49)$ está apagado por algún factor? Encima de esa ecuación está escrito que $L_m = \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} d\sigma e^{im\sigma} T_{++}$ , y computando esto obtengo $i$ ecuación de tiempos $(3.1.49)$ .

Cualquier ayuda es apreciada, gracias.

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

Bueno, el operador BRST de cadena (3.2.11-12) con un álgebra de Lie de dimensión infinita no se puede adaptar del operador BRST (3.2.4) para álgebras de Lie de dimensión finita tal como está, principalmente porque el segundo término en este último no utiliza el orden normal . La cuestión es bastante grave ya que la diferencia entre el segundo término $\begin{matrix} (1) & q_{2} = - \frac{1}{2} \sum_{norte, metro \in Z} (metro - norte) C_{- metro} C_{- norte} b_{metro + norte} \end{matrix}$ $\tag{1} Q_2~=~-\frac{1}{2}\sum_{n,m\in\mathbb{Z}} (m-n) c_{-m}c_{-n}b_{m+n}$ sin ordenación normal y el segundo término correspondiente con ordenación normal es infinito:

\begin{matrix} (2) & q_{2} - : q_{2} : = C_{0} \sum_{norte \in Z} norte C_{- norte} b_{norte} - : C_{0} \sum_{norte \in Z} norte C_{- norte} b_{norte} : = \infty C_{0} . \end{matrix}

$\tag{2} Q_2~-~:Q_2:~=~c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n ~-~ :c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n: ~=~ \infty~c_0.$

En cambio, el método más poderoso es formular la simetría BRST con la ayuda de OPE , ordenamiento radial ${\cal R}$ , y el teorema de Wick entre ordenación radial y normal. Ver, por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones y enlaces en el mismo. El operador de carga BRST es $\begin{matrix} (3) & q = \oint \frac{d z}{2 π i} j_{B R S T} (z), \end{matrix}$ $\tag{3} Q~=~\oint \frac{dz}{2\pi i}~ j_{\rm BRST}(z),$ donde el operador actual BRST $\begin{matrix} (4) & j_{B R S T} (z) = C (z) T^{(X)} (z) + \frac{1}{2} : b (z) C (z) \partial C (z) : + \frac{3}{2} \partial^{2} C (z) \end{matrix}$ $\tag{4} j_{\rm BRST}(z)~=~ c(z)T^{(X)}(z) + \frac{1}{2} :b(z)c(z)\partial c(z): + \frac{3}{2} \partial^2 c(z)$ es un campo primario de peso conforme $h=1$ , que satisface la OPE $\begin{matrix} (5) & R j_{B R S T} (z) j_{B R S T} (w) = - \frac{C^{(X)} - 18}{2 (z - w)^{3}} C (w) \partial C (w) - \frac{C^{(X)} - 18}{4 (z - w)^{2}} C (w) \partial^{2} C (w) - \frac{C^{(X)} - 26}{12 (z - w)} C (w) \partial^{3} C (w) + términos no singulares . \end{matrix}$ ${\cal R}~ j_{\rm BRST}(z)~j_{\rm BRST}(w) ~=~ -\frac{c^{(X)}-18}{2(z-w)^3}c(w)\partial c(w)- \frac{c^{(X)}-18}{4(z-w)^2}c(w)\partial^2 c(w) - \frac{c^{(X)}-26}{12(z-w)}c(w)\partial^3 c(w) +\text{non-singular terms}.\tag{5}$ Aquí $\begin{matrix} (6) & C (z) = \sum_{norte \in Z} C_{norte} z^{- norte + 1}, b (z) = \sum_{norte \in Z} b_{norte} z^{- norte - 2} . \end{matrix}$ $\tag{6} c(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n z^{-n+1}, \qquad b(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^{-n-2}.$ El operador de carga BRST $Q$ es famoso nilpotente $Q^2=0$ si el asunto central de carga $c^{(X)}=26$ tiene veintiséis .

Referencias:

MB Green, JH Schwarz y E. Witten, Teoría de supercuerdas, vol. 1, 1986; Secciones 3.1 y 3.2.
J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1, 1998; Sección 4.3.

3. R. Blumenhagen, D. Lust y S. Theisen, Conceptos básicos de la teoría de cuerdas, 2013; Sección 5.2.

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