Tensor de energía-momento de la acción fantasma bosónica en la teoría de cuerdas

Al cuantificar la teoría de cuerdas bosónicas por medio de la integral de trayectoria, se invierte el determinante de Faddeev-Popov yendo a las variables de Grassmann , dando como resultado:

S gramo h o s t s = − i 2 π ∫ gramo ^ b α β ∇ α ^ C β d 2 τ ,
donde el − i / 2 π solo viene de la convención/mecha girada o no. Mi primer problema es la noción de la métrica 'fudicial' gramo ^ . Encuentro su papel en el procedimiento integral de ruta un poco confuso. ¿Cuál es su relación con la métrica 'normal' gramo ? ¿Por qué se introduce? Relacionado con esta confusión está el hecho de que en mis notas de clase se dice que el tensor de momento de energía viene dado por:
T α β := − 1 gramo ^ d S gramo d gramo ^ α β = i 4 π ( b α γ ∇ ^ β C γ + b β γ ∇ ^ α C γ − C γ ∇ γ b α β − gramo α β b γ d ∇ γ C d ) ,
Tengo problemas para derivar esto. Variando el gramo ^ en la acción da el último término yo diría:
d gramo ^ = − 1 2 gramo ^ gramo ^ α β d gramo ^ α β
Sin embargo, este término no tiene un 'sombrero' en la derivada covariante, lo que me parece extraño. El primer y segundo término siguen fácilmente cuando se escribe la acción con todos los índices bajos (excepto por un factor de 1/2), pero realmente no veo de dónde viene el tercer término y también pierde un sombrero en la derivada covariante. Parece que se ha hecho una integración parcial, pero no veo por qué. Supongo que me estoy perdiendo el punto de la métrica fiduciaria aquí. Explicación muy apreciada!

EDITAR: En la discusión a continuación mencioné que b α β es sin rastro: b α β gramo α β = 0 , olvidé poner eso aquí. Es una consecuencia del procedimiento integral de trayectoria.

He tenido la intención de hacer esto durante bastante tiempo. He decidido resolverlo ahora. Pondré mi respuesta una vez que haya terminado.

Respuestas (1)

Aquí está parte de mi respuesta a la derivación del tensor EM para la acción fantasma. No coincide con la expresión que diste, pero puede que me haya equivocado. ¿Puedes revisar mi trabajo?

Empezamos con la acción.

S gramo h = − i 2 π ∫ d 2 σ gramo gramo α m b α β ∇ m C β
Ahora vamos a variar la métrica de acción wrt. Obtenemos
d S gramo h = − i 2 π ∫ d 2 σ ( d gramo ) gramo α m b α β ∇ m C β                                   − i 2 π ∫ d 2 σ gramo ( d gramo α m ) b α β ∇ m C β                                   − i 2 π ∫ d 2 σ gramo gramo α m b α β d ( ∇ m C β ) = − i 4 π ∫ d 2 σ gramo [ b α m ∇ β C m + b β m ∇ α C m − gramo α β b ρ σ ∇ ρ C σ ] d gramo α β                                   − i 2 π ∫ d 2 σ gramo gramo α m b α β C λ d Γ m λ β
ahora usamos
d Γ m λ β = 1 2 gramo β ρ [ ∇ λ d gramo ρ m + ∇ m d gramo ρ λ − ∇ ρ d gramo m λ ]
Tenga en cuenta que, en particular, es un tensor. El último término se convierte entonces
I = − i 2 π ∫ d 2 σ gramo gramo α m b α β C λ d Γ m λ β = − i 4 π ∫ d 2 σ gramo b m ρ C λ [ ∇ λ d gramo ρ m + ∇ m d gramo ρ λ − ∇ ρ d gramo m λ ] = − i 4 π ∫ d 2 σ gramo b m ρ C λ ∇ λ d gramo ρ m = − i 4 π ∫ d 2 σ gramo ∇ λ ( b α β C λ ) d gramo α β
entonces tenemos
d S gramo h = − i 4 π ∫ d 2 σ gramo [ b α m ∇ β C m + b β m ∇ α C m − gramo α β b ρ σ ∇ ρ C σ + ∇ λ ( b α β C λ ) ] d gramo α β

Estoy bastante seguro de que mi expresión para el tensor de energía-momentum es correcta, la encontré en la página 50 de Lust and Theisen's Lectures on String Theory. Creo que los dos primeros términos de tu expresión son correctos, pero el tercero y el cuarto no lo son.
¿El tercer término también es correcto? Pensé que coincidía con lo que tienes. Sin embargo, me preocupa el último término.
tal vez podamos usar el hecho de que β α β es sin rastro?
@Erik Hay un error de signo en la última integración por partes, por lo que de hecho obtienes: − ∇ λ ( b α β C λ ) d gramo α β . Suponiendo que un marco plano da − C λ ∂ λ ( b α β ) d gramo α β − ∂ λ C λ ( b α β d gramo α β ) . Pero ( b α β d gramo α β ) = d ( b α β gramo α β ) = 0 , porque b es sin rastro. Y puedes reintroducir los símbolos de Christoffel y encuentras − C λ ∇ λ ( b α β ) d gramo α β
@Trimok sí, ¡esos parecen ser los pasos que faltan!
no veo porque b α β d gramo α β = 0 . ¿No es esto sólo cierto de d gramo α β ∝ gramo α β ? ¿Es que solo estamos permitiendo esos cambios de la métrica que dejan el rastro de b α β ¿invariante? Si es así, ¿por qué?
@Prahar: En tu cálculo de d S gramo h , tu usas d ( b α β ) = 0 . Al final del cálculo, tenemos un término proporcional a b α β   d gramo α β . Pero b α β   d gramo α β = d ( b α β gramo α β ) , porque d ( b α β ) = 0 . Pero b α β gramo α β = 0 , porque b es sin rastro. Entonces podemos eliminar este término.
yo uso d b α β = 0 . Mientras que la traza de esta cantidad es originalmente cero. ¿Estamos variando la métrica para que la traza de b α β sigue siendo cero? Mi punto es que solo porque b α β gramo α β es cero, no significa que su variación sea cero. A menos que se varíe la métrica para mantener la desaparición del rastro. ¿Es eso así?
@Eric: Una observación (Ref: Polchinski, String Theory, Volumen 1, página 91): Tu acción S gramo es una acción clásica, por lo que obtenemos una acción clásica T α β . Desde un punto de vista cuántico, tenemos que considerar las integrales de trayectoria Z ( gramo ) = ∫ d X   d b   d C   mi X pag ( − S X − S gramo ) , y el tensor energía-momento es la variación infinitesimal de la integral de trayectoria con respecto a la métrica. Prácticamente, observando <...> una inserción de algún operador en la integral de trayectoria, tenemos d < . . . >= ∫ d 2 σ   gramo 1 2 ( σ ) d gramo a b ( σ ) < T a b ( σ ) . . . >
@Prahar: De hecho, creo que tal vez haya un problema de coherencia en la pregunta. El origen es el cálculo de la integral de trayectoria, en el que aparece el determinante de Faddeev-Popov que es una integración sobre b y C : Δ F PAG ( gramo ^ ) = ∫ d b   d C   mi X pag ( − S gramo ) . Durante el cálculo, aparece el hecho de que b es simétrico y sin trazas. Pero me pregunto si todo esto tiene algún sentido fuera del procedimiento de integrales de trayectoria.
@Prahar: Sí, tienes razón: tenemos que suponer que cada variación de gramo α β se restringe a métricas que preservan el rastro de b . Creo que el argumento debe encontrarse en el procedimiento integral de trayectoria.
Dos cosas: no hay ningún error de signo en mis cálculos. Hay un signo de la integración por partes y otro de la elevación de los índices sobre d gramo α β . En segundo lugar, me preocupa que solo se permitan variaciones de la métrica que conservan el rastro. Yo creo que lo correcto es decir que la variación métrica es arbitraria, pero b α β también cambia para mantener su ausencia de rastro. Creo que esto es lo correcto para decir. ¿Algún comentario?
Recuerde que los campos son de Grasmann, entonces a b = − b a . Y creo que lo que dijiste es correcto.
@Prahar: No entiendo el punto por el cambio de signo para "elevar d gramo α β ". Quiero decir, ¿no es correcta la igualdad anterior? :
∇ λ ( b α β C λ ) d gramo α β = ∇ λ ( b α β C λ ) d gramo α β
No. Tenga en cuenta que gramo α ρ gramo ρ β = d β α . De este modo d ( gramo α ρ gramo ρ β ) = 0 ⟹ d gramo α ρ gramo ρ β + gramo α ρ d gramo ρ β = 0 . De este modo d gramo α β = − gramo α ρ gramo β σ d gramo ρ σ . Así que hay un signo menos adicional.
@Prahar: AAAArgh! Sí por supuesto.
Tensor de energía-momento de la acción fantasma bosónica en la teoría de cuerdas
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v