Cómo derivar la ecuación. (2.1.24) en el libro de teoría de cuerdas de Polchinski

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Cómo derivar la ecuación. (2.1.24) en el libro de teoría de cuerdas de Polchinski

usuario26143

Disculpe, tengo una pregunta estúpida más en el libro de teoría de cuerdas de Polchinski :(

\partial \bar{\partial} en | z |^{2} = 2 π d^{2} (z, \bar{z}) (1)

$\partial \bar{\partial} \ln |z|^2 = 2 \pi \delta^2 (z,\bar{z}) (1)$ Verificaré esta ecuación integrando ambos lados sobre

\int \int d^{2} z

$\int \int d^2z$

El lado derecho es obviamente $2\pi$ . El lado izquierdo se evalúa de la siguiente manera

\partial \bar{\partial} en | z |^{2} = \partial \bar{\partial} (en z + en \bar{z}) = \partial (\bar{\partial} en \bar{z}) + \bar{\partial} (\partial en z) (2)

$\partial \bar{\partial} \ln |z|^2 = \partial \bar{\partial} \left( \ln z + \ln \bar{z} \right) = \partial \left( \bar{\partial} \ln \bar{z} \right) + \bar{\partial} \left( \partial \ln z \right) (2)$

con la ayuda de la Ec. (2.1.9) en ese libro, tenemos

\int \int_{R} d^{2} z [\partial (\bar{\partial} en \bar{z}) + \bar{\partial} (\partial en z)] = i \oint_{\partial R} \bar{\partial} en \bar{z} d \bar{z} - \partial en z d z (3)

$\int \int_R d^2 z \left[ \partial \left( \bar{\partial} \ln \bar{z} \right) + \bar{\partial} \left( \partial \ln z \right) \right] = i \oint_{\partial R} \bar{\partial} \ln \bar{z} d \bar z - \partial \ln z d z (3)$

= i \oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar{z} - \frac{1}{z} d z = 2 π + \oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar{z}

$= i \oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar z - \frac{1}{z} d z = 2 \pi + \oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar z$

Aquí he usado la integral de contorno. Pero es un término restante $\oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar z$ ¿cero? ¿Por qué?

zkf

En su ecuación intermedia (la que está después de la frase "evaluado de la siguiente manera"), no necesita el segundo término en el RHS. Deberías poder resolverlo desde allí.

usuario26143

@zkf Es porque en el punto singular (origen), la derivada de segundo orden no es continua. Por lo tanto

\partial \bar{\partial}

$\partial \bar{\partial}$ no se puede intercambiar. ¿Es eso correcto?

usuario26143

@zkf, ya veo. A partir de la ecuación de Cauchy-Riemann, se puede mostrar (solo un cálculo sencillo) que "la derivada de Wirtinger de f con respecto al conjugado complejo de z es cero" en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function en.wikipedia.org/ wiki/Wirtinger_derivative

usuario2309840

hasta un desaparecido

i

$i$ en la última igualdad, el cálculo anterior es correcto. La notación de Polchinski es un poco divertida, y resulta que su

δ^{2} (z, \bar{z})

$\delta^2(z, \bar z)$ es igual al doble de la función delta habitual

δ (σ^{1}, σ^{2})

$\delta(\sigma^1, \sigma^2)$ escrito en coordenadas cartesianas. El resultado final debe ser

4 π

$4 \pi$ , no

2 π

$2 \pi$ .

Respuestas (1)

Cómo derivar la ecuación. (2.1.24) en el libro de teoría de cuerdas de Polchinski

En su ecuación intermedia (la que está después de la frase "evaluado de la siguiente manera"), no necesita el segundo término en el RHS. Deberías poder resolverlo desde allí.
@zkf Es porque en el punto singular (origen), la derivada de segundo orden no es continua. Por lo tanto $\partial \bar{\partial}$ no se puede intercambiar. ¿Es eso correcto?
@zkf, ya veo. A partir de la ecuación de Cauchy-Riemann, se puede mostrar (solo un cálculo sencillo) que "la derivada de Wirtinger de f con respecto al conjugado complejo de z es cero" en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function en.wikipedia.org/ wiki/Wirtinger_derivative
hasta un desaparecido $i$ en la última igualdad, el cálculo anterior es correcto. La notación de Polchinski es un poco divertida, y resulta que su $\delta^2(z, \bar z)$ es igual al doble de la función delta habitual $\delta(\sigma^1, \sigma^2)$ escrito en coordenadas cartesianas. El resultado final debe ser $4 \pi$ , no $2 \pi$ .

Hansenet · Answer 1

Obviamente estás tratando de resolver el problema 2.1 del libro de Polchinski que dice:

"Verifica que $\partial\overline{\partial}\ln\left|z\right|^{2}=\partial\frac{1}{\overline{z}}=\overline{\partial}\frac{1}{z}=2\pi\delta^{2}\left(z,\:\overline{z}\right)$

(a) mediante el uso del teorema de la divergencia (2.1.9)

( $\int_{R}d^{2}z\left(\partial_{z}v^{z}+\partial_{\overline{z}}v^{\overline{z}}\right)=i\oint_{\partial R}\left(v^{z}d\overline{z}-v^{z}dz\right)$ );

(b) regulando la singularidad y luego tomando el límite".

(a) usted tiene

Para funciones de prueba holomorfas $f(z)$ :

$\int_{R}d^{2}z\partial\overline{\partial}\ln\left|z\right|^{2}f\left(z\right)=\int_{R}d^{2}z\overline{\partial}\frac{1}{z}f\left(z\right)=-i\oint_{\partial R}dz\frac{1}{z}f\left(z\right)=2\pi f\left(0\right)$ .

Para funciones de prueba antiholomórficas $f\left(\overline{z}\right)$ :

$\int_{R}d^{2}z\partial\overline{\partial}\ln\left|z\right|^{2}f\left(\overline{z}\right)=\int_{R}d^{2}z\partial\frac{1}{\overline{z}}f\left(\overline{z}\right)=-i\oint_{\partial R}d\overline{z}\frac{1}{\overline{z}}f\left(\overline{z}\right)=2\pi f\left(0\right)$ .

(b) Ahora viene la segunda parte del problema: Regular $\ln\left|z\right|^{2}$ usa el buen viejo $\epsilon$ -entorno truco y reescribirlo como $\ln\left(\left|z\right|^{2}+\epsilon\right)$ . Esto también te regulariza $\frac{1}{z}$ y $\frac{1}{\overline{z}}$ :

$\partial\overline{\partial}\ln\left(\left|z\right|^{2}+\epsilon\right)=\partial\frac{z}{\left|z\right|^{2}+\epsilon}=\overline{\partial}\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}+\epsilon}=\frac{\epsilon}{\left(\left|z\right|^2+\epsilon\right)^{2}}$ .

Desde este punto la simetría del problema hace más conveniente el uso de coordenadas polares. Considere una función de prueba general $f\left(r,\:\theta\right)$ y definir $g\left(r^{2}\right)\equiv\int d\theta f\left(r,\:\theta\right)$ que se supone que se comporta suficientemente bien en los casos asintóticos $0$ y $\infty$ , entonces

$\int d^{2}z\frac{\epsilon}{\left(\left|z\right|^{2}+\epsilon\right)^{2}}f\left(z,\:\overline{z}\right)=\int^{\infty}_{0} du\frac{\epsilon}{\left(u+\epsilon\right)^{2}}g\left(u\right)=\left.\left(-\frac{\epsilon}{u+\epsilon}g\left(u\right)+\epsilon\ln\left(u+\epsilon\right)g^{\prime}\left(u\right)\right)\right|_{0}^{\infty}-\int^{\infty}_{0} du \epsilon\ln\left(u+\epsilon\right)g^{\prime\prime}\left(u\right)=g\left(0\right)=2\pi f\left(0\right).$

Gracias por tu solución. El problema está en mi ecuación. (2), he intercambiado las derivadas parciales $\partial \bar{\partial}$ . Es que en el punto singular (origen), la derivada de segundo orden no es continua. Por lo tanto $\partial \bar{\partial}$ no se puede intercambiar. ¿Es eso correcto?
Estimado @user26143, se puede intercambiar perfectamente. En física, casi nunca nos enfrentamos a situaciones patológicas en las que las derivadas de diferentes variables no se conmutan. Tenga en cuenta que $\partial\bar\partial$ actúa sobre el $\ln(|z|^2)$ aquí que es completamente $z$ - $\bar z$ -simétrico y el resultado también es simétrico, por lo que, por supuesto, el orden de las dos derivadas no importa. Todas las distribuciones pueden imaginarse como límites de funciones continuas uniformes por las que las derivadas claramente pueden intercambiarse.
Si ha sido educado por quisquillosos matemáticos "no puede hacer esto, eso", refiriéndose a identidades que funcionan para funciones que se comportan bien, etc., entonces olvídese de toda esta educación porque en física, puede y siempre debe tratar de usar estas identidades (intercambiando derivados y muchos más difíciles). En lugar de inventar excusas por las que no debería realizar operaciones tan elementales, debe aprender a realizarlas de forma rápida, eficiente y en el momento adecuado. La física lo necesita todo el tiempo.
Estimado @Luboš Motl, entonces, ¿qué está mal en el segundo término en el lado derecho de la ecuación (2) en mi publicación? ¿Por qué hay un término adicional? $\oint_{\partial R} \frac{1}{\bar{z}} d \bar{z}$ ¿al final?
@Hansenet, en su derivación de funciones de prueba holomorfas, $\partial \bar{\partial} \ln |z|^2 f(z) = \bar{\partial} \frac{1}{z} f(z)$ , por qué no hay $\partial f(z)$ ?
Se desvanece debido a las propiedades de los derivados. $\partial_{z}$ y $\partial_{\overline{z}}$ .
@Hansenet desde $\ln |z|^2 = \ln z + \ln \bar{z}$ , si me concentro en el $\partial \bar{\partial} \ln z f(z) = \bar{\partial} \left( \frac{1}{z} f(z) + \partial f(z) \right)$ , por qué sólo hay $\bar{\partial} \frac{1}{z} f(z)$ ? y por qué $\partial \bar{\partial} \ln \bar{z} f(z)$ desaparece.... Parece que el problema es que no entiendo por qué $\bar{\partial} \frac{1}{z} \neq 0$ pero $\bar{\partial} f(z)=0$ para función holomorfa $f(z)$
@Hansenet Ya veo. A partir de la ecuación de Cauchy-Riemann, se puede mostrar (solo un cálculo sencillo) que "la derivada de Wirtinger de f con respecto al conjugado complejo de z es cero" en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function en.wikipedia.org/ wiki/Wirtinger_derivative ¡Muchas gracias por su amable ayuda!

Cómo derivar la ecuación. (2.1.24) en el libro de teoría de cuerdas de Polchinski

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