Una pregunta sobre la variación de la métrica bajo Weyl y las transformaciones de coordenadas

Va un poco como esto:

$$\begin{align*} \delta g_{ab}(\sigma)&=g_{ab}^{\zeta}(\sigma)-g_{ab}(\sigma)\\ &=\exp(2\omega(\sigma-\delta\sigma))\frac{\partial (\sigma^c-\delta \sigma^c)}{\partial \sigma^a}\frac{\partial( \sigma^d-\delta \sigma^d)}{\partial \sigma^b}g_{cd}(\sigma-\delta \sigma)-g_{ab}(\sigma)\\ &\approx (1+2\omega )({\delta^c}_a-\partial_a\delta \sigma^c)({\delta^d}_b-\partial_b\delta \sigma^d)(g_{cd}(\sigma)-\delta\sigma^e\partial_eg_{cd}(\sigma))-g_{ab}(\sigma)\\ &\approx 2\omega g_{ab}(\sigma)-\partial_a\delta\sigma_b-\partial_b\delta\sigma_a-\delta\sigma^e\partial_eg_{ab}(\sigma). \end{align*}$$ La última expresión que reconocemos como la derivada de Lie de la métrica a lo largo del campo vectorial $\delta\sigma^a$. Lo que escribiste es una forma equivalente usando la derivada covariante.

PD, llegaste al capítulo más difícil :)