Libro de Polchinski, duda relacionada con X0X0X_{0}

Estoy leyendo el libro de polchinski y preguntaba si hice un cálculo incorrecto o no entendí algo. Bueno, básicamente.

$$Z[p]=\int [DX^{\mu}]e^{-S[X]}e^{ipX}$$ $$=(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\det{}^{\prime}\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)^{-d/2}\exp(-\frac{1}{2}\int d^{2}\sigma_{1} d^{2}\sigma_{2}p_{\mu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma_{2})).\tag{6.2.6}$$ Aquí, $$(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})=\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma X_{0}(\sigma)p_{i}(\sigma)\right).$$ Estas igualdades, las puedes encontrar en el capítulo 6, página 170. Entonces, estaba pensando en el significado de $X_{0}$, que para mí es el núcleo del operador laplaciano. De hecho, traté de hacer esto.

Parto de esta ecuación :($-\frac{\delta}{\delta X_{\mu}(\sigma)}\langle X^{\nu}(\sigma')\rangle=0$)

$$\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')\langle 1\rangle$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')Z[p]|_{p=0}$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=\frac {1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[...]$$ Esta es toda la expresión de $[...]$ $$[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}G'(\sigma,\sigma')\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\left\lbrace-\int d^{2}\sigma_{1}p^{\nu}(\sigma_{1})G'(\sigma_{1},\sigma')\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)+(\mu\leftrightarrow\nu,\sigma\leftrightarrow\sigma')$$ $$-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)$$ $$-\left.\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right]\vert_{p=0}$$

Entonces, necesito el siguiente resultado:

$$[..2..]=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right]_{p=0}=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma p_{i}(\sigma)X_{0}(\sigma)\right)\right]_{p=0}$$

$$[..2..]=\left[\prod_{i=1,i\neq\nu\neq\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\nu}_{0}x^{\nu}_{0}X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\nu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\nu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\times\right.$$ $$\int dx^{\mu}_{0}x^{\mu}_{0}X_{0}(\sigma)\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)$$ $$+\left.\prod_{i=1,i\neq\nu=\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\mu}_{0}(x^{\mu}_{0})^{2}X_{0}(\sigma)X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\right]$$ Eso es, $\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[..2..]=0$( $\nabla^{2}X_{0}=0$), ¿Tengo razón?.

Averiguando cada operación:

$$\nabla^{2}[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0}))\left\lbrace -\int d^{2}\sigma_{1}p^{\mu}(\sigma_{1})\nabla^{2}G'(\sigma_{1},\sigma \right\rbrace$$ $$\left.-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')\nabla^{2}G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\right]\vert_{p=0}$$

Al final obtuve el siguiente resultado:

$$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')$$ Entonces, supongo que cometí un error, pero no tengo idea de dónde. Solución correcta: $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')-X_{0}^{2}$$

NOTA 1: Estoy tratando de obtener ese resultado porque me gustaría encontrar alguna relación entre$X_{0}$y$\frac{\alpha'}{2}\ln d^{2}(\sigma,\sigma')$. Según tengo entendido esta última cantidad es la cantidad que me permite renormalizar operadores y trabajar con OPEs. La primera vez que vi esta cantidad fue cuando estaba tratando de averiguar$\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle$y Polchinski definieron el ordenamiento normal.