Una pregunta sobre la corriente BRST en la teoría de cuerdas bosónicas

No proporcioné todos los detalles porque sería demasiado largo, pero doy algunas pistas al final de la respuesta.

He usado las fórmulas$:T^g: ~= ~:2(\partial c) b + c(\partial b):$y$:\frac{1}{2}cT^g: ~= ~:bc \partial c:$, cuando hay una ambigüedad en el cálculo.

Empezamos por:

$$j_B = cT^m+:\frac{1}{2}:cT^g:+\frac{3}{2}\partial^2c=cT^m+:bc\partial c:+\frac{3}{2}\partial^2c \tag{4.3.3}$$

Tenemos$T(z) = (T^m+ T^g)(z)$, queremos calcular el OPE$T(z)j_B(0)$.

Tenga en cuenta que$T^m$tiene cero OPE con los campos fantasma$c,b$o$T^g$. Tenga en cuenta que$c$tiene peso holomorfo$-1$y$\partial^2c$tiene peso holomorfo$+1$

Tenemos :

$$T(z)j_B(0) = T^m(z)c(0)T^m(0)+T^g(z)c(0)T^m(0) + T^g(z)c(0)T^g(0) \\+ T^g(z)\frac{3}{2}\partial^2c(0) \tag{1}$$ El primer término es: $$T^m(z)c(0)T^m(0)\sim [\frac{c^m}{2z^4} + \frac{2}{z^2}T^m(0)+\frac{1}{z}\partial T^m(0)]~c(0) \tag{2}$$ El segundo término es: $$T^g(z)c(0)T^m(0) \sim [\frac{-1}{z^2}c(0)+\frac{1}{z}\partial c(0)]~T^m(0) \tag{3}$$ El tercer término es: $T^g(z)c(0)T^g(0) =:2(\partial c(z)) b(z) + c(z)(\partial b(z)): :b(0)c(0) \partial c(0):\tag{4}$

La parte relativa a una contracción es:

$$\frac{1}{z^2}:b(0)c(0)\partial c(0) :+ \frac{1}{z}:\partial(b(0)c(0)\partial c(0)):\tag{4a}$$

La parte relativa a 2 contracciones es:

$$-\frac{4c(0)}{z^4}+\frac{3\partial c(0)}{z^3} \tag{4b}$$

El cuarto término es:$:T^g(z):\frac{3}{2}:\partial^2c(0)): = :2(\partial c) b + c(\partial b):\frac{3}{2}:\partial^2c(0):$, y esto da:

$$\frac{3}{2}[-\frac{6c(0)}{z^4}-\frac{2\partial c(0)}{z^3}+\frac{\partial^2c(0)}{z^2}+\frac{\partial^3c(0)}{z}]\tag{5}$$

Sumando todos los términos$(2), (3),(4a), (4b), (5)$, obtenemos el resultado deseado:

$$T(z) j_B(0) \sim \frac{ c^m - 26}{2z^4} c(0) + \frac{1}{z^2} j_B(0) + \frac{1}{z} \partial j_B(0) \tag{4.3.11}$$

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Algunos consejos:

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El resultado$(5)$se obtiene a partir de:

$$:T^g(z)::c(w): = - \frac{1}{(z-w)^2} c(z) + \frac{2}{z-w} \partial c(z) \tag{6}$$ luego derivando $2$veces relativamente a $w$, y finalmente haciendo una expansión de Taylor de $c(z), \partial c(z)$alrededor $w$, y finalmente poner $w=0$.

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Los resultados$4a$y$4b$son bastante largos y fastidiosos, hay que recordar que, antes de hacer una o 2 contracciones, hay que reordenar los términos, y esto puede dar un signo menos por la anticonmutación en el producto pedido. Por ejemplo, si tienes$:ab:~:cde:$, y tienes una contracción$ac$con una contracción$be$, reordenas por$acbed$, tienes 2 transposiciones, esto obtendrá un signo$(-1)^2 = 1$