Una pregunta sobre el teorema de Liouville

Tengo algunas dudas sobre el teorema de Liouville , probablemente sea algo conceptual.

Entonces: sé que para un sistema en el que se cumple el teorema de Liouville, se conserva el volumen en el espacio de fases.

Pero la conservación del volumen implica inmediatamente la ausencia de puntos asintóticamente estables.

Sin embargo, si el hamiltoniano depende del tiempo y, en particular, su derivada temporal es negativa a lo largo de las curvas de fase, un sistema posee puntos asintóticamente estables.

Para ese sistema, las ecuaciones de Hamilton aún se mantienen, por lo tanto, es un sistema hamiltoniano.

Pero el teorema de Liouville ya no se cumple.

Mi pregunta: ¿para qué tipo de sistemas se cumple el teorema de Liouville? Por ejemplo: el oscilador descargado tiene un punto asintóticamente estable.

¡Ya veo, estamos usando diferentes nociones de puntos asintóticamente estables! ¡Estoy eliminando mi respuesta porque está mal!
¿ Qué es el oscilador armónico descargado ? ¿ O te referías al oscilador armónico amortiguado ?
No creo que el oscilador armónico amortiguado (con ecuación de movimiento X ¨ + a X ˙ + b X = 0 ) es un sistema hamiltoniano. La disipación es inherentemente no hamiltoniana y viola el teorema de Liouville.

Respuestas (1)

El teorema de Liouville se cumple para todos los sistemas hamiltonianos .

Si su definición de un punto asintóticamente estable X ∗ significa que las trayectorias desde los puntos X en algún barrio de X ∗ tiende a X ∗ como t → ∞ , entonces

  1. volumen del espacio de fase y/o densidad cerca X ∗ no se conservan
  2. y el sistema no puede ser hamiltoniano (debido al teorema de Liouville).

Un ejemplo de tal sistema no hamiltoniano es de hecho el oscilador armónico amortiguado no forzado

X ¨ + C X ˙ + k X = 0

con C ≠ 0 .

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