Teorema de Liouville en coordenadas esféricas

Estoy tratando de verificar la invariancia de

$$d\omega=\prod_{i=1}^{3N}dq_idp_i$$ en el caso $N=1,$y bajo una transformación canónica en coordenadas esféricas. sé dejar $$q_1=r\sin\theta\cos\phi,\quad q_2=r\sin\theta\sin\phi\quad, q_3=r\cos\theta,$$ pero ¿cuál sería la transformación apropiada para los momentos? Es decir, ¿cómo se calcula el jacobiano en $$\int\prod_{i=1}^{3}dq_idp_i=\int J\prod_{i=1}^{3}dQ_idP_i$$ explícitamente y encontrar que $J=1$como se sabe del teorema de Liouville? Sé que el hamiltoniano para una partícula libre en coordenadas esféricas es $$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\dot{r}^2+\left(r\dot{\theta}\right)^2+\left(r\sin\theta\dot{\phi}\right)\right)=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_{\theta}^2}{r^2}+\frac{p_{\phi}^2}{r^2\sin^2\theta}\right),$$ pero no veo cómo podría usar esto para decir cuál $p_i$se asocia con lo que $P_i.$