Caos e integrabilidad en la mecánica clásica

Un sistema integrable de Liouville admite un conjunto de variables de ángulo de acción y, por definición, no es caótico. Sin embargo, ¿es cierto lo contrario, los sistemas no integrables son automáticamente caóticos ? ¿Hay algún ejemplo de sistemas no integrables que no sean caóticos?

¿Cuál es la definición precisa de caótico que está utilizando?
@ACuriousMind Estaba pensando en particular en el caos determinista, donde el ligero cambio en las condiciones iniciales conduce a un cambio drástico en la evolución, ¡pero buscaría orientación sobre este tema! :)
@AngusTheMan Debe asegurarse de qué definiciones hay detrás de los términos que está usando, para elaborar: cuando dice "integrable", ¿se refiere a la integrabilidad del sistema tal como lo define Liouville? En cuyo caso, si el sistema hamiltoniano con norte DOF no exhibe al menos norte Primeras integrales globales de movimiento, todas en involución (conmutación de Poisson), luego el sistema no es integrable en Liouville. Para tal sistema no integrable, los haces de trayectorias vecinas en el espacio de fase se esparcen exponencialmente en el tiempo entre sí, lo que a su vez significa imprevisibilidad a largo plazo, por lo que es caótico.
@Phonon Este comentario realmente me ayudó, gracias. ¿El decaimiento exponencial al que te refieres sería el exponente de Lyapunov? ¿Es esta una propiedad general del formalismo hamiltoniano que es una separación exponencial? (por ejemplo, ¿por qué no lineal o cuadrático, etc.)?
@AngusTheMan De nada. El exponente de Lyapunov es una posible medida de sensibilidad a las condiciones iniciales, más específicamente, dadas 2 trayectorias con separación inicial d X ( 0 ) , la separación en el tiempo t es dado por: | d X ( t ) | ≈ mi λ t | d X ( 0 ) | . La divergencia exponencial de caminos aquí es característica de un sistema caótico clásico , el formalismo utilizado es irrelevante. En cuanto a por qué es exponencial, es otra discusión, de hecho en mucho tiempo ya no es exponencial. Todo esto está relacionado con las propiedades ergódicas de los sistemas caóticos.

Respuestas (1)

El punto clave aquí es que cualquier sistema dinámico que no sea completamente integrable exhibirá regímenes caóticos 1 . En otras palabras, no todas las órbitas estarán en un toro invariable (el toro de Liouville es la estructura topológica de un sistema totalmente integrable), en principio, un sistema caótico puede incluso tener órbitas periódicas estables cerradas (típicas de sistemas regulares/integrables) para algunas condiciones iniciales , el conjunto de tales condiciones tiene una medida de cero (lo que significa que los estados en esa órbita solo son accesibles desde otros estados de la misma órbita).

Para familiarizarse con estos conceptos, le sugiero que busque en el billar dinámico 2D . Estos modelos son de gran interés porque su dinámica se define únicamente por la forma del límite, circular, elipsoide, estadio, etc. Ahora, un ejemplo interesante para mostrar aquí sería el límite de forma ovalada (tenga en cuenta que los billares circulares y elipsoidales son regulares debido a su simetrías):

ingrese la descripción de la imagen aquí

En la imagen de arriba (por Tureci, Hakan, et al. 2002), a la izquierda se ve el mapa de poincaré 2 del billar ovalado 2D (con reflexión especular), y a la derecha se ven 3 ejemplos de diferentes regímenes del sistema. Este es un ejemplo perfecto que muestra un sistema que admite solo regiones integrables localmente. El caso a) corresponde a una órbita cuasi-periódica, sólo marginalmente estable. El caso b) muestra una órbita periódica estable rodeada por una isla estable y finalmente el caso c) correspondiente a la totalidad de las regiones densamente punteadas del mapa, es indicativo de un movimiento caótico. Para leer más, sugiero consultar algunos de los artículos de Scholarpedia y, por supuesto, no perderse esta fantástica reseña de A. Douglas Stone .

1 Por ejemplo, todos los sistemas no lineales que no son integrables en Liouville (como se explica en los comentarios). Tenga en cuenta que los sistemas lineales siempre se pueden resolver por exponenciación. Pero dicho esto, hay que tener cuidado con las distinciones entre solucionabilidad e integrabilidad.

2 Estos mapas se obtienen eligiendo una sección de poincaré y encontrando la intersección de las trayectorias en el espacio fase con esta sección. Dichos mapas permiten una representación de la evolución de cualquier sistema dinámico, independientemente de la dinámica involucrada. Para más intuición, vea aquí .

¡Gracias por una gran respuesta! Entonces, el espacio de fase de todos los sistemas, excepto los más simples, es en realidad una combinación de diferentes regiones (integrables + no integrables). ¿El parche relevante está determinado por las condiciones iniciales?
@AngusTheMan En pocas palabras, sí :)
Para divertirse, aquí hay un clip de una variante de piscina con una mesa de forma elíptica, donde aún es perfectamente posible apuntar y encapsular, gracias a su integrabilidad;)
Caos e integrabilidad en la mecánica clásica
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v