¿Cuáles son algunos ejemplos de mecánica con una estructura simplécica global no genérica?

En el marco de la mecánica estadística, en libros y conferencias cuando se establecen los fundamentos, es decir, el espacio de fase, la ecuación de Hamilton, la densidad, etc., parece que se suele suponer que el espacio de fase es R 2 norte , donde tal vez el q i -Se cortan las coordenadas para obtener un volumen finito.

En los libros sobre mecánica hamiltoniana, especialmente los libros de matemáticas, se necesita un espacio simpléctico ( METRO , ω ) y por supuesto el hamiltoniano. Ahora necesariamente, localmente ω parece la forma canónica Θ = d q i ∧ d pag i .

¿Existen algunos problemas de mecánica clásica relevantes en los que se pueda establecer un problema menos trivial? ω , y eso a nivel mundial ?

Me gustaría ver una expresión global que sea diferente de Θ (y no solo Θ en diferentes coordenadas globales). Esa sería una forma no trivial, que tal vez podría surgir en un espacio topológicamente más complicado que R 2 norte , tal vez debido a restricciones de un sistema mecánico. Y tal vez obtenga ese formulario después de una reducción del espacio de fase, pero en realidad no conozco ningún problema mecánico explícito para el que lo necesite.

Respuestas (3)

Los espacios de fase que no son paquetes cotangentes se pueden realizar en sistemas mecánicos con restricciones de espacio de fase. El espacio fase dado por Arnold: las dos esferas S 2 se puede realizar mecánicamente como la dinámica reducida de una hipersuperficie de energía de un oscilador armónico isotrópico bidimensional:

| pag 1 2 | + | pag 2 2 | + | q 1 2 | + | q 2 2 | = mi

Observamos que el hamiltoniano genera una tasa de rotación constante en el ( pag , q ) aviones, a saber:

( pag i ( t ) + i q i ( t ) ) = mi X pag ( − i mi i t ) ( pag i ( 0 ) + i q i ( 0 ) )

Por lo tanto, podemos optar por ver el sistema desde el punto de vista de un "sistema giratorio en el espacio de fase" en el que el vector en el ( pag 1 , q 1 ) El avión siempre está en la dirección de q 1 . Por supuesto, no podemos hacer eso en ambos planos porque solo tenemos un grado de libertad. Así nos quedamos con:

| pag 2 2 | + | q 1 2 | + | q 2 2 | = mi ,

que es simplemente la ecuación de dos esferas. Por lo tanto, la dinámica reducida de una hipersuperficie de energía constante está en dos esferas.

La forma simpléctica tiene que ser proporcional al área de la esfera, porque es la forma de volumen de la esfera y una esfera de dos tiene solo una forma de volumen.

Este enfoque nos da una gran ventaja sobre la cuantificación. Es bien sabido que de la cuantización de una esfera se obtiene la cuantización del espín. Desde el punto de vista del oscilador isotrópico para mi = 2 j ℏ , ( j es semiintegral), esta cuantificación corresponde a las siguientes energías de los osciladores individuales: ( 2 j , 0 ) , ( 2 j − 1 , 1 ) , . , . , . , ( 0 , 2 j ) . Como puede verse, hay exactamente (2j+1) estados como en el sistema de espín.

La teoría completa de cuantizaciones permite escribir las funciones de onda correspondientes también en las coordenadas de las dos esferas. Por lo tanto, en realidad cuantificamos el oscilador isotrópico utilizando la cuantificación de espín.

La equivalencia de este procedimiento con la cuantización estándar del oscilador armónico isotrópico es un teorema muy célebre de Guillemin y Sternberg llamado "Cuantización conmuta con reducción". En realidad, este es el principio que aplicamos cuando cuantificamos las teorías de calibre (aunque no existe una prueba formal para el caso de dimensión infinita). En la red se pueden encontrar numerosos trabajos sobre este tema.

"El espacio de fase dado por Arnold"... una frase que generaciones de físicos han usado antes.

En general, las órbitas coadjuntas de un grupo de Lie proporcionan ejemplos importantes de variedades simplécticas globales. En general, tales sistemas se obtienen por reducción simpléctica a partir de una descripción más fundamental.

Por ejemplo, el trompo se modela para constante j 2 en una variedad simpléctica S 2 que es una órbita coadjunta del grupo de rotación S O ( 3 ) . Se obtiene por reducción simpléctica a partir de la norte -Modelo de partículas de un cuerpo rígido. (Si j 2 no se toma fijo, se necesita una descripción más general en términos de una variedad de Poisson tridimensional.)

Hay muchos modelos de este tipo más avanzados. Ver el libro Mecánica y simetría de Marsden y Ratiu.

De manera más general, la dinámica hamiltoniana en álgebras de Poisson tampoco es solo un juego matemático, sino que es importante en las aplicaciones. Por ejemplo, la descripción hamiltoniana de fluidos realistas necesita una variedad de Poisson de dimensión infinita. Para la ecuación de Euler, véase, por ejemplo,
PJ Morrison, Hamiltonian description of the ideal fluid, Reviews of Modern Physics 70 (1998), 467.
http://www.ph.utexas.edu/~morrison/98RMP_morrison.pdf

Pero la variedad simpléctica en este caso es solo el paquete cotangente de S^3/Z_2. Este no me parece un buen ejemplo, ya que me pareció que la pregunta buscaba un caso en el que la estructura simpléctica no es un paquete cotangente de una variedad, y no pude pensar en un ejemplo de inmediato.
@RonMaimon: El OP solicitó un caso en el que la estructura simpléctica sea globalmente diferente de Θ . Por otro lado, hay muchas variedades de Lie-Poisson cuyas órbitas coadjuntas no son espacios cotangentes; uno solo necesita tomar grupos de Lie más grandes y sistemas físicos que los tengan como grupo de simetría.
Pero es deprimente que no aparezcan como espacios de fase física de objetos reales. Estaba tratando de pensar en un solo caso en los sistemas realizables clásicos.
@RonMaimon: Aparecen, por ejemplo, en hidromecánica. Ver la adición a mi respuesta.
@Arnold: Gracias por la respuesta. De la tercera desde la última declaración (entre paréntesis) en su respuesta, parece que el estudio de los sistemas dinámicos también puede requerir que uno trabaje con variedades generales de Poisson (es decir, aquellas sin ninguna estructura simpléctica subyacente). ¿Es eso cierto? Intuitivamente parece que el caso cuando j 2 no es fijo puede describirse simplemente en términos de una variedad simpléctica "más grande".
@dushya: ¿Es eso cierto? Sí. De hecho, el marco de Poisson es el nivel correcto para hacer mecánica clásica abstracta. Consulte el Capítulo 3 en arxiv.org/abs/0810.1019 . Véase también la adición al final de mi respuesta. Marsden & Ratiu tienen las generalidades sobre la dinámica en álgebras de Poisson, pero Morrison tiene detalles mucho más cercanos a las aplicaciones.

Cualquier superficie orientable cerrada bidimensional puede tener la estructura de una variedad simpléctica (puede establecer su forma simpléctica igual a la forma de volumen). Además, será "no trivial" en el sentido de ser diferente del paquete cotangente de alguna otra variedad. Además, una vez que tenga una variedad simpléctica, siempre puede definir un sistema mecánico clásico en ella, introduciendo una función hamiltoniana y escribiendo las ecuaciones de evolución temporal correspondientes.

Un ejemplo explícito es el toro que se puede obtener del espacio de fase R 2 de una sola partícula haciendo las siguientes identificaciones sobre la posición y el momento:

X + L 1 = X

pag + L 2 = pag

Así que ahora cualquier función H ( X , pag ) que es periódico en X y pag con periodos L 1 y L 2 respectivamente puede servir como una función hamiltoniana en el toro.

De acuerdo, el ejemplo del toro como compactación no es tan interesante per se, es decir, sin establecer una forma real que tenga sentido físico (ya que la forma canónica sería nuevamente la primera idea aquí). Pero veo que a partir de esa declaración sobre variedades de 2 dim, hay S 2 y probablemente tengas que tener alguna forma más complicada allí, tal vez pecado ⁡ ( ϑ )   d ϕ ∧ d ϑ más o menos. ¿Algún problema mecánico real en mente?
No estoy seguro ... al menos para una variedad simpléctica compacta, parece haber una restricción "no física" en el momento que podría ser problemática en la realización "real" de un sistema físico correspondiente.
Esta no es una gran respuesta, está buscando un espacio de fase torcido, no uno identificado (pero esto no es tan malo como pensé --- la p está identificada, por lo que es un ejemplo honesto donde la fase el espacio no es el paquete cotangente del espacio de configuración, aunque es un poco trivial). No hay ningún sistema mecánico con un toroide espacial de fase p que yo sepa. ¿Cómo se implementa clásicamente la restricción de periodicidad p? Solo puedes hacer esto en un sistema cuántico con una red espacial. Quizás esto sea lo suficientemente bueno, piense en el límite clásico de un sistema cuántico de celosía.
Puede ser que Nick esté buscando algún sistema físico real cuyo espacio de fase no sea un paquete cotangente... ¿verdad Nick? y como dije, no estoy seguro de si puede haber alguno.
Mi motivación es realmente averiguar si la definición matemática en ese enfoque es exagerada. Incluso si los problemas físicos motivaron los estudios matemáticos y el descubrimiento de la extensión y la integración en la imagen geométrica diferencial elaborada con sus posibilidades... no es necesario usar el formalismo completo del sistema hamiltoniano (matemático) en la definición, si nunca se obtiene. usado alguna vez.
@NickKidman: definitivamente se usa la descripción del paquete cotangente: algunas partículas con fuerzas repulsivas restringidas para deslizarse sobre una esfera, un toro o un plano hiperbólico, de modo que el espacio de fase involucra una variedad no trivial en la parte de posición. La parte que no se usa con demasiada frecuencia es la noción general de un espacio simpléctico, que es demasiado general para la mecánica, pero quizás no para los límites clásicos de los sistemas cuánticos.
¿Cuáles son algunos ejemplos de mecánica con una estructura simplécica global no genérica?
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