¿Por qué el espacio de fase de un péndulo simple está definido en un cilindro y no en T2T2\mathbb{T}^{2}?

Tomemos la ecuación del péndulo X ¨ = − pecado ⁡ X . Aquí X ∈ T 1 . Ahora reescríbalo como un sistema acoplado de primer orden

y ˙ = − pecado ⁡ X , X ˙ = y .

Intuitivamente sabemos que y corresponde a la velocidad, cuya norma (es decir, la velocidad) puede ser tan grande o pequeña como queramos, por lo tanto y ∈ R . Por lo tanto, el espacio de fase del péndulo es el cilindro. T 1 × R .

Sin embargo X ( t ) = X ( t + t 0 ) durante algún período t 0 y por la definición y = X ˙ también esperamos y ( t ) = y ( t + t 0 ) , es decir, podemos decir y ∈ T 1 .

¿Es esto una contradicción? ¿Por qué definimos y estar en R y no en T ?

Así... no es como se escribe el oscilador armónico. La ecuación para el oscilador armónico es metro X ¨ = − k X , no X ¨ = − pecado ⁡ ( X ) ! También, y = X ˙ se mantiene solo en trayectorias que son soluciones a las ecuaciones de las ecuaciones de movimiento (correctas), no en todo el espacio de fase ( X ˙ ni siquiera tiene sentido sin una trayectoria). No estoy seguro de cuál de esos es exactamente tu problema.
¡Es por eso que dije "Péndulo simple", no un oscilador armónico! De todos modos, el contexto de mi pregunta se centra en el aspecto matemático, en lugar de la física (solo usé el término péndulo porque es un ejemplo común de un espacio de fase de cilindro para un sistema dinámico) @ACuriousMind
Para mí, el "simple" en "péndulo simple" significa que consideramos la aproximación de ángulos pequeños donde se vuelve simple . De todos modos, parece que su pregunta subyacente es "¿Por qué tener un círculo para los valores de una coordenada generalizada no fuerza un círculo para los valores de su momento conjugado?", ¿Verdad?
Esencialmente, sí. Pero tengo una pregunta mucho más general sobre un sistema dinámico arbitrario, sin ninguna relevancia para la física: cuando reducimos el orden de una oda introduciendo una nueva variable, ¿cómo determinamos en qué espacio se encuentra esa nueva variable? Así que supongamos que tenemos esa oda que escribí arriba... sin ninguna referencia a un péndulo. ¿Cómo decidiríamos si y ∈ R , basado en el conocimiento de que X ∈ T ?... @ACuriousMind

Respuestas (4)

X ∈ T 1 denota la estructura del espacio de fases en sí mismo, no el hecho de que el movimiento en función del tiempo sea periódico. Cualquier movimiento arbitrario del péndulo se puede representar en el espacio de fase, no solo los periódicos (en el tiempo). Tenemos X ∈ T 1 porque puedes girar el péndulo alrededor de la bisagra durante un ciclo completo y terminas con el mismo estado. No puedes decir lo mismo de y .

Ah, ya veo. Su comentario me da algunas ideas valiosas aquí. ¿Qué pasa con el caso general, sin ninguna referencia a la física. Suponga que tiene una oda de segundo orden. Haces un cambio de variable y = X ˙ para reducir el sistema a un sistema odo acoplado de primer orden. Suponer X está en algún espacio: decir X ∈ T . ¿Qué puedes decir sobre y ? ¿Estará en T o R ? @caminointegral
Si quitas la física, no creo que puedas decir nada al respecto. y . En mecánica cuántica, una situación en la que y ∈ T 1 es cuando la traducción continua se degrada a la discreta, es decir, cuando su "universo" es una red cristalina. Pero en QM, un estado no puede ser representado por un punto en el espacio de fases debido al principio de incertidumbre de Heisenberg. El tamaño del "píxel" en el espacio de fase es ℏ .

  1. Si la formulación lagrangiana tiene espacio de configuración METRO , y la transformación de Legendre no es singular, entonces el espacio de fase correspondiente en la formulación hamiltoniana es el fibrado cotangente T ∗ METRO . (Para el péndulo , el espacio de configuración METRO ≅ S 1 es un círculo.)

  2. Para modelos con 2 toros S 1 × S 1 como espacio de fase, consulte esta publicación de Phys.SE.

La mecánica lagrangiana se define en un paquete tangente, el paquete tangente del espacio de configuración. Para el péndulo el espacio de configuración es S 1 el círculo. Su paquete tangente es trivial, por lo que es S 1 × R .

Puede pasar a la descripción hamiltoniana, que vive en el paquete cotangente: también es trivial, por lo que también es S 1 × R . Ese es el espacio de condiciones iniciales . El movimiento real será periódico en ambas variables, pero eso es otra cosa.

(Hay algo llamado toros invariantes, donde el movimiento casi periódico traza un toro en el espacio de fase. No estoy seguro de que eso se aplique al péndulo).

Considere todos los posibles movimientos del péndulo, X = X I ( t ) , X ˙ = X ˙ I ( t ) dónde I = { X 0 , X ˙ 0 } denota las condiciones iniciales de esa solución de las ecuaciones de Hamilton. Variar I tienes todas las soluciones posibles.

Bueno, hay una asimetría evidente entre las dos variables hamiltonianas. X siempre se puede tomar en un círculo, como − π ≤ X ≤ + π es suficiente para describir todos los movimientos del péndulo independientemente de I . Un intervalo mayor sería redundante para describir las posiciones del péndulo. Por el contrario, no hay un intervalo lo suficientemente grande [ − X ˙ , X ˙ ] que puede incluir todos los valores de todas las funciones R ∋ t ↦ X ˙ I ( t ) para cada condición inicial I . Este hecho se mantiene incluso si cada una de esas curvas R ∋ t ↦ X ˙ I ( t ) es periódico.

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