En esta conferencia-video (alrededor de 37:17) sobre la dinámica hamiltoniana, el instructor menciona que para un sistema hamiltoniano de dimensión finita integrable (Arnold-Liouville) uno tiene lo siguiente:
Luego recuerda que para y para una energía dada (es decir, para una hipersuperficie de energía dada), la dimensionalidad de la hipersuperficie solución (la -toro) es , por lo que para una hipersuperficie-solución dada se puede separar la -Hipersuperficie de energía dimensional en dos partes (interior y exterior). Luego afirma que para tal separación no es posible, porque entonces la diferencia de dimensionalidad entre una hipersuperficie-solución y una hipersuperficie-energía sería mayor que . Como ejemplo, recuerda que no puedes separar un -dimensional en dos partes con una línea.
Después de todo esto, dice que cuando el espacio de fase del sistema se convierte en una "red estocástica", donde las hipersuperficies de solución para una energía dada cubren la energía correspondiente en forma de "red". Me gustaría saber más sobre esta "web estocástica". ¿Dónde puedo encontrar una definición adecuada de una red estocástica y también más literatura sobre el tema?
PD: No sabía si debería hacer esta pregunta en MSE.
Creo que el término "red estocástica" se empleó por primera vez en este artículo.por Zaslavsky, donde no estudió la estocasticidad casi integrable de la que estás hablando, sino los procesos estocásticos en sistemas unidimensionales. La razón es que la mayoría de la gente no puede ver dimensiones superiores a tres, y él estaba particularmente interesado en la estructura fractal del caos (quizás por eso acuñó el término "red estocástica"). El punto importante aquí es que "red estocástica" no es un nombre muy popular, y no está restringido a sistemas cuasi-integrables: cada sistema caótico cuyo caos no cubre completamente el espacio de fase tiene redes estocásticas asociadas a él; están alrededor de la separadora que cubre las islas de estabilidad. En su artículo, Zaslavsky estudia muchos sistemas y mapas caóticos, tratando de ajustar las condiciones iniciales de modo que el espacio de fase no solo presente características caóticas, pero que esas características sean de naturaleza fractal. El resultado es un papel donde se pueden encontrar sorprendentes imágenes del espacio de fase, aunque algunas no son redes estocásticas: todo el espacio está densamente cubierto.
En cuanto al caos en los sistemas integrables, es elemental demostrar que todos y cada uno de los sistemas hamiltonianos de un grado de libertad son integrables. Esto significa que la única forma de convertir un sistema hamiltoniano unidimensional en algo no integrable es agregando perturbaciones, lo que significa que tienes que elegir: si decides agregar una perturbación dependiente del tiempo y ver el caos que surge, entonces está absolutamente seguro de que el sistema caótico resultante noser integrable. En un espacio de fase de 4 dimensiones, puede tomar hamiltonianos que en realidad no necesitan perturbación, ya que son intrínsecamente caóticos, aunque el hamiltoniano es una constante de movimiento. Ahora, en el espacio de fase de 6 dimensiones obtienes el efecto del que estás hablando: el caos puede "filtrarse" entre dos toros y acumularse en una dimensión intermedia, ya que los toros no pueden cubrir todo el espacio de fase cuando están indexados por energía... Pero yo diría que esta es una propiedad asociada a la dimensión, no al caos. La definición de "red estocástica" no cambia: es un filamento caótico del espacio de fase donde la dinámica es caótica, pero fuera de ella es regular. Creo que el maestro solo usó el término "red estocástica" como una analogía para una región donde el caos "se propaga como una red",
Ladrillo Cuántico