Considere un sistema hamiltoniano. ¿En qué circunstancias es posible suponer que todos los estados pertenecientes a la hipersuperficie son igualmente visitados?
¿Es necesario tener un número muy alto de grados de libertad?
Por otro lado, si el sistema no es lineal pero tiene un número limitado de grados de libertad efectivos, digamos , ¿está justificada la hipótesis ergódica?
¿Qué pasa con la presencia de islas regulares donde el mar caótico no puede penetrar? ¿Se encogen como aumenta? ¿Están siempre presentes?
si el sistema no es lineal pero tiene un número limitado de grados de libertad efectivos, digamos , ¿está justificada la hipótesis ergódica?
Esa es esencialmente una pregunta matemática y, lamentablemente, no parece existir ninguna condición además de las de las diferentes definiciones equivalentes de ergodicidad. Se pueden encontrar ejemplos concretos de pruebas de ergodicidad en los libros de texto de teoría ergódica (las notas de Charles Walkden sobre teoría ergódica están disponibles en línea ( pdf1 , pdf2 )).
Considere un sistema hamiltoniano. ¿En qué circunstancias es posible suponer que todos los estados pertenecientes a la hipersuperficie son igualmente visitados?
Si equal es una palabra clave, entonces diría que aquí está preguntando cuáles son las condiciones previas para mezclar , y puede leer un poco sobre su relación con la ergodicidad en esta respuesta a la publicación ¿Existen condiciones necesarias y suficientes para la ergodicidad? ? (aunque el enlace de Stanford es, por supuesto, mucho mejor) y, de nuevo, las condiciones son simplemente las de su definición.
¿Es necesario tener un número muy alto de grados de libertad?
No. Pero, como muestra la difusión de Arnold ( este documento ( e-print ) parece ser una buena introducción), ciertamente es más difícil contener trayectorias en sistemas hamiltonianos con más de 2 grados de libertad.
¿Qué pasa con la presencia de islas regulares donde el mar caótico no puede penetrar? ¿Se encogen como aumenta? ¿Están siempre presentes?
Hay sistemas que son completamente caóticos, así que no, las islas no siempre están presentes. En cuanto a los sistemas de dimensiones superiores, las superficies KAM no separan el espacio de fase en regiones distintas, lo que permite que ocurran fenómenos como la difusión de Arnold mencionada anteriormente, por lo que se podría decir que las regiones regulares se vuelven menos influyentes en los sistemas de dimensiones superiores.
Vengo de un entorno de simulación, por lo que esto es más una intuición que una derivación rigurosa.
Una forma de conceptualizar si la erogdicidad se mantendrá o no es si uno puede esperar razonablemente muestrear las mismas porciones del espacio de fase usando dinámicas y usando un proceso de Monte Carlo. Es decir, si simplemente reorganizo aleatoriamente las partículas y luego Boltzmann pesa su contribución a la función de partición, ¿me dará esto la misma respuesta en el límite de tiempo largo que obligar a las partículas a visitar estas configuraciones a través de algún tipo de dinámica continua?
Un ejemplo artificial en el que puede pensar cuando este no será el caso es un sistema unidimensional donde una partícula está a la izquierda y la otra a la derecha. Si estas son partículas clásicas, alguna vez se atravesarán entre sí, por lo que el promedio del conjunto y el promedio de tiempo de cualquier cantidad no serán iguales porque cada partícula solo muestra un subconjunto del espacio de fase total disponible.
Otro ejemplo más físico de no ergodicidad es cuando un sistema experimenta una transición de fase. Considere un modelo de Ising bidimensional simple. A medida que la temperatura desciende, eventualmente las contribuciones entrópicas dejan de dominar y el sistema experimenta una transición de fase de modo que todo gira hacia arriba o hacia abajo. Esto tiene lugar a una temperatura finita. Claramente, en presencia de una gran cantidad de giros, tomará un tiempo inmensamente largo para que todos estos giros cambien y nos permitan probar la otra rama de la transición de fase. Por lo tanto, como cuestión práctica, el promedio de conjunto muestreará más espacio de fase que un promedio de tiempo y este sistema no es ergódico. A temperatura cero, esto es formalmente cierto ya que nunca se muestreará la otra rama de la transición de fase y el sistema es realmente no ergódico.
Para responder más directamente a su pregunta en base a este último ejemplo, la hipótesis ergódica es razonable cuando no hay discontinuidades en el espacio de fase, ya que estas suelen llevar al sistema a tener que elegir una de varias ramas posibles, de las cuales es extremadamente improbable que el sistema partirá en un tiempo finito.
Como comentario aparte, en la práctica, generalmente se muestrea un sistema en pasos discretos (esto es cierto tanto en los procesos markovianos como en la dinámica), por lo que a menudo se dice que los sistemas con frecuencias muy altas en ellos son altamente no ergódicos porque tomará un tiempo extremadamente largo para muestrear el espacio de fase ya que se requerirá un paso de tiempo extremadamente pequeño para muestrear a lo largo del movimiento de muy alta frecuencia. Sin embargo, este es solo un problema práctico, no teórico.
Estoy seguro de que hay una respuesta más teórica que esta que parece que podría estar buscando, pero pensé en intervenir.
andreapaco
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stafusa
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