Una pregunta sobre el desacoplamiento de la ecuación de Dirac en dimensión 1+1

Se dice que en dimensión 1+1, si tomamos$\gamma^0=i\sigma^2$y$\gamma^1=\sigma^1$, entonces los dos componentes de dirac spinor$\psi_L$(componente superior) y$\psi_R$(componente inferior) desacoplar en la ecuación de Dirac$(i\gamma^u\partial_u-m)\psi=0$Pero las matrices de Pauli$\sigma^1$y$\sigma^2$son matrices fuera de la diagonal. Entonces los componentes del espinor$\psi$claramente se mezcla en la ecuación. Entonces, ¿qué significa que los componentes se desacoplan?

También creo que está mal elegir$\gamma^0$y$\gamma^1$como arriba Para satisfacer el álgebra de Clifford, creo que debe ser que$\gamma^0=\sigma^2$y$\gamma^1=i\sigma^1$. ¿Es esto correcto?