Los componentes de la ecuación de Dirac resuelven la derivación de la ecuación de Klein Gordan

En la página 90 de este conjunto de notas de clase sobre teoría cuántica de campos, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf , se proporciona una derivación simple para mostrar que cada componente de la ecuación de Dirac resuelve la ecuación de klein-gordon En la derivación se usa esta identidad sin explicación:

$$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=1/2\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}\partial_{\mu}\partial_{\nu}$$ Las notas en su brevedad parecen implicar que es obvio o trivial, pero no puedo verlo. Las relaciones de anticonmutación de las matrices gamma no implican esto (y, de hecho, las identidades de anticonmutación se usan más adelante en la derivación). Pensé que podrías mostrar esto usando la ecuación de dirac inicial expresada en forma de covariante, pero tampoco he progresado mucho allí.