Reducibilidad de los generadores de grupos de Lorentz, en contraste con la representación de matriz gamma irreducible

Después de introducir las matrices gamma como

$$\gamma^0=-i \pmatrix{\begin{matrix} 0 & \Bbb I_{2x2} \\ \Bbb I_{2x2} & 0 \\ \end{matrix}} , \qquad \gamma^i=-i\pmatrix{\begin{matrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \\ \end{matrix}}$$ podemos encontrar la representación matricial de los generadores del grupo homogéneo de Lorentz en la representación del espinor (es decir,$J^{\mu\nu}=-\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}])$entonces: $$J^{ij}=\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}\pmatrix{\begin{matrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \\ \end{matrix}}\quad\text{ and }\quad J^{i0}=\frac{i}{2}\pmatrix{\begin{matrix} \sigma^i & 0 \\ 0 & -\sigma^i \\ \end{matrix}}.$$ Vemos que las matrices de los generadores son bloques diagonales en esta forma, por lo que la representación es reducible. Por otro lado, sabemos que las matrices gamma 4x4 en la forma anterior proporcionan una representación irreducible del grupo de Lorentz, porque el número máximo de tensores independientes antisimétricos creados usando matrices gamma es 16 en el espacio-tiempo 4D, por lo que la dimensionalidad mínima para representar las matrices gamma es al menos formar una representación de matriz de 4x4, razón por la cual la forma que vemos arriba proporciona una representación irreducible.

¿Cómo podemos reconciliar el hecho de que los generadores$J$son reducibles, mientras que las matrices gamma 4x4 constituyen una representación irreducible?