Representaciones del álgebra de Dirac, adjunto hermitiano y trazas

Estrictamente hablando, esta es una pregunta de matemáticas, pero dado que el álgebra de Dirac es mucho más importante en física que en matemáticas, pensé que tendría más posibilidades de obtener una respuesta aquí.

El álgebra de Dirac se puede definir como el álgebra de Clifford asociada a la métrica de Minkowski. En los textos de física no siempre queda claro si se trata del álgebra de Clifford real o compleja, yo diría que moralmente es la real, pero en rigor la compleja. Este último es isomorfo al álgebra de$4\times 4$matrices complejas, pero no de forma canónica. Por el teorema de Skolem-Noether (y probablemente también de una manera más elemental) vemos que todos esos isomorfismos son conjugados, e incluso que todas las representaciones complejas del álgebra real de Dirac (que es simple) son conjugadas.

Ahora, en los textos de física, el álgebra de Dirac a menudo se define como un álgebra de$4\times 4$matrices, pero con una representación de$\Bbb R^{1,3}$contenido dentro de él, en la forma de las cuatro matrices (no especificadas)$\gamma^\mu$.

En ese contexto, hay definiciones obvias de la huella y el adjunto hermitiano, a saber, como la huella y el adjunto hermitiano de la matriz. Por la observación anterior y el hecho de que la traza es invariable bajo la conjugación, vemos que la traza está bien definida en el nivel del álgebra abstracta. Del conjugado hermitiano eso no está tan claro (no sé si es cierto).

Esto no es satisfactorio por varias razones:

• Realmente queremos trabajar con diferentes representaciones, por lo que sería bueno si pudiéramos definir la traza de una manera que sea independiente de una representación específica, o tal vez alguna representación canónica como la representación regular o (aún mejor) si hay alguna espacio canónico de 4 dimensiones sobre el que actúa.
• No funciona tan bien para otros espacios.$\Bbb R^{1,d}$.
• Cosas como las identidades de rastreo son complicadas y difíciles de memorizar.

Mis preguntas:

• ¿Esto solo funciona bien en$\Bbb R^{1,3}$?
• ¿Es más correcto o útil ver el álgebra de Dirac como el álgebra de Clifford real o compleja?
• ¿Existe una definición canónica o independiente de la representación de la huella? Idealmente uno que funcione para todas las álgebras de Clifford.
• ¿Existe una definición canónica del adjunto hermitiano, o tal vez un producto interno hermitiano?
• ¿Se puede interpretar convenientemente la ecuación de Dirac o más un campo de espinor de Dirac en términos del álgebra abstracta de Dirac sin ninguna referencia explícita a una representación de 4 dimensiones de la misma?

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No es difícil demostrar que el álgebra de Dirac tiene una antiinvolución única que denotaré$\ast$que satisface$\gamma^{\mu\ast} = g^\mu_{\ \ \nu}\gamma^\nu$. Si llamamos a esto el adjunto hermitiano, esto diría que$\gamma^0$es hermitiano y$\gamma^i$es anti-hermitiano. Entonces podríamos exigir que en una representación matricial, estos se correspondan con matrices hermitianas y antihermitianas. Sin embargo, esto no es automático: no se sigue de la estructura algebraica que este debe ser el caso, y debe verse como un requisito adicional en una representación del álgebra de Dirac.

Para ser explícito, se podría considerar el álgebra de Clifford real o$\Bbb R^{1,1}$. Esto se puede mapear isomórficamente en$\mathcal M_2(\Bbb R)$de una manera que$\gamma^0$es simétrico y$\gamma^1$es antisimétrico. También se puede mapear en una subálgebra de$\mathcal M_2(\Bbb C)$de una manera que$\gamma^0$es hermitiano y$\gamma^1$es anti-hermitiano.