De la ecuación relativista para encontrar matrices de Dirac

Question

De la ecuación relativista para encontrar matrices de Dirac

Física
ecuación de dirac
matrices de dirac
Álgebra de Clifford
mecánica cuántica
relatividad especial

baponkar

¿Es esto posible y luego cómo?

((γ \otimes σ) ∙ pag) (γ^{'} \otimes 1_{2}) = γ γ^{'} \otimes σ ∙ pag

$((\gamma \otimes \mathbf\sigma)\bullet\mathbf p)(\gamma^\prime\otimes\mathbf 1_2) = \gamma\gamma^\prime\otimes\sigma \bullet \mathbf p$ dónde

γ

$\gamma$ y

γ^{'}

$\gamma^\prime$ estamos usando para factorizar luego vemos

γ^{0} = γ^{'} \otimes 1_{2}

$\gamma^0=\gamma^\prime\otimes1_2$ ,

γ^{1} = γ \otimes σ_{1}

$\gamma^1=\gamma\otimes\sigma_1$ ,

γ^{2} = γ \otimes σ_{2}

$\gamma^2=\gamma\otimes\sigma_2$

γ^{3} = γ \otimes σ_{3}

$\gamma^3=\gamma\otimes\sigma_3$ dónde

γ^{1}, γ^{2}, γ 3

$\gamma^1,\gamma^2,\gamma3$ son matrices de dirac,

σ

$\mathbf\sigma$ es Pauli Spin Matrix, p es el impulso de cuatro vectores

p = (E / c, - p_{1}, - p_{2}, - p_{3})

$p=(E/c,-p_1,-p_2,-p_3)$ y

1_{2}

$1_2$ es una matriz unitaria de 2x2, es decir

1_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$1_2 = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)$

σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$

σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})

$\sigma_2 = \left(\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0\end{matrix}\right)$

σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$\sigma_3 = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right)$ Sé sobre el producto mixto de matriz ((

A \otimes B) (C \otimes D) = A C \otimes B D

$A\otimes B)(C \otimes D)=AC\otimes BD$ ) pero no puedo entender cómo esto es posible, estaré encantado de recibir una respuesta. Aquí pongo esta Imagen de donde he sacado esta consulta. Gracias.

Aquí pongo esta imagen donde tengo esta consulta

Respuestas (1)

De la ecuación relativista para encontrar matrices de Dirac

baponkar · Answer 1

Creo que esto puede ser una respuesta. No estoy muy seguro de eso.

(γ^{'} \otimes 1_{2}) {(γ \otimes σ σ)} ∙ pag pag} = {(γ^{'} \otimes 1_{2}) (γ \otimes σ σ)} ∙ pag pag

$(\gamma^\prime\otimes 1_2)\{(\gamma\otimes\pmb\sigma)\}\bullet \pmb p\} =\{(\gamma^\prime\otimes 1_2)(\gamma\otimes\pmb\sigma)\}\bullet \pmb p$ [Aquí supongo

(γ^{'} \otimes 1_{2})

$(\gamma^\prime\otimes 1_2)$ como escalador]

= {γ^{'} γ \otimes 1_{2} σ σ} ∙ pag pag

$=\{\gamma^\prime\gamma\otimes1_2\pmb\sigma\}\bullet \pmb p$ [Usando el teorema del producto mixto

(A \otimes B) . (C \otimes D) = A C \otimes B D

$(A\otimes B).(C\otimes D)=AC\otimes BD$ ]

= (γ^{'} γ \otimes σ σ) ∙ pag

$=(\gamma^\prime\gamma\otimes\pmb \sigma)\bullet p$ Similarmente

{(γ \otimes σ σ) ∙ pag} . {γ^{'} \otimes 1_{2}} = {(γ \otimes σ σ) . (γ^{'} \otimes 1_{2})} ∙ pag pag = (γ γ^{'} \otimes σ σ 1_{2}) ∙ pag = (γ γ^{'} \otimes σ σ) ∙ pag

$\{(\gamma\otimes\pmb \sigma)\bullet p\}.\{\gamma^\prime\otimes 1_2\}=\{(\gamma\otimes\pmb \sigma).(\gamma^\prime\otimes 1_2)\}\bullet \pmb p=(\gamma\gamma^\prime\otimes\pmb\sigma 1_2)\bullet p= (\gamma\gamma^\prime\otimes\pmb\sigma)\bullet p$ Nota: No estoy seguro de que exista una regla de este tipo para intercambiar productos internos con productos directos.

Hola baponkar, por favor no pegues capturas de pantalla de matemáticas. Tenemos MathJax integrado en el sitio por este motivo (¡e incluso lo usaste en tu pregunta!).
Bueno, me alegro de que hayas encontrado lo que buscabas. Es posible que desee ver si puede comenzar con la ecuación de onda relativista de Klein-Gordon y generar la ecuación de Dirac, que es cómo Dirac encontró el $\gamma$ matrices - o el álgebra de Dirac Clifford

De la ecuación relativista para encontrar matrices de Dirac

baponkar

Respuestas (1)

baponkar

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