Generalicemos a partir de cuatro dimensiones de espacio-tiempo a una$d$Álgebra de Clifford bidimensional $C$. Definir

$$p~:=~[\frac{d}{2}], \tag{1}$$

dónde$[\cdot]$denota la parte entera . La pregunta de OP se convierte en

¿Por qué debe la dimensión$n$de una representación de dimensión finita$V$ser múltiplo de$2^p$?

Prueba:

1. Si$C\subseteq {\rm End}(V)$y$V$ambos son reales, podemos complejizarlos, por lo que a partir de ahora podemos suponer que ambos son complejos. Entonces la firma de$C$es irrelevante y, por lo tanto, también podríamos asumir una firma positiva. En otras palabras, asumimos que se nos da$n\times n$matrices$\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{d}$, que satisfacen

   $$\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\}_+~=~2\delta_{\mu\nu}{\bf 1}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}.\tag{2}$$

2. Podemos definir

   $$\gamma_{\mu\nu}~:=~ \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_- ~=~-\gamma_{\nu\mu}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}. \tag{3}$$ En particular, definir$p$elementos $$H_1, \ldots, H_p,\tag{4}$$ como $$H_r ~:=~i\gamma_{r,p+r}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{5}$$

3. Tenga en cuenta que los elementos$H_1,\ldots, H_p$, (y$\gamma_d$si$d$es impar), son un conjunto de involuciones mutuamente conmutadas

   $$[H_r,H_s]_- ~=~0, \qquad r,s~\in~\{1,\ldots, p\},\tag{6}$$ $$H_r^2 ~=~{\bf 1}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{7}$$

4. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Lie , entonces$H_1,\ldots, H_p$, (y$\gamma_d$si$d$es impar), debe tener un vector propio común$v$.

5. Ya que$H_1,\ldots, H_p$son involuciones, sus valores propios son$\pm 1$. En otras palabras,

   $$H_1 v~=~(-1)^{j_1} v, \quad \ldots, \quad H_p v~=~(-1)^{j_p} v,\tag{8}$$ dónde $$j_1,\ldots, j_p~\in ~\{0,1\} \tag{9}$$ son cero o uno.

6. Aplicar junto a la$p$primeras matrices gamma

   $$\gamma^{1}, \gamma^{2}, \ldots, \gamma^{p}, \tag{10}$$ al vector propio común$v$, de modo que $$v_{(k_1,\ldots, k_p)}~:=~ \gamma_{1}^{k_1}\gamma_{2}^{k_2}\cdots\gamma_{p}^{k_p} v, \tag{11}$$ donde los índices $$k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \tag{12}$$ son cero o uno.

7. A continuación nota que

   $$[H_r,\gamma_s]_-~=~0 \quad \text{if}\quad r~\neq~ s \mod p \tag{13}$$ y $$\{H_r,\gamma_r\}_+~=~0. \tag{14}$$ Es sencillo comprobar que el$2^p$vectores$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$también son vectores propios comunes para$H_1,\ldots, H_p$. En detalle, $$H_r v_{(k_1,\ldots, k_p)}~=~(-1)^{k_r+j_r}v_{(k_1,\ldots, k_p)}.\tag{15}$$

8. Tenga en cuenta que cada vector propio$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$tiene un patrón único de valores propios para la tupla$(H_1,\ldots, H_p)$, entonces el$2^p$vectores$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$debe ser linealmente independiente.

9. Ya que

   $$\gamma_{p+r}~=~ i H_r \gamma_r, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}, \tag{16}$$ vemos eso $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \left\{ v_{(k_1,\ldots, k_p)} \mid k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \right\} \tag{17}$$ es un subespacio invariante$W\subseteq V$por$C$.

10. Esto muestra que cualquier representación compleja irreducible de un complejo$d$El álgebra de Clifford bidimensional es$2^p$-dimensional.

11. Finalmente, creemos (pero no verificamos) que una representación de dimensión finita$V$de un álgebra de Clifford compleja es siempre completamente reducible, es decir, una suma finita de representaciones irreducibles, y por lo tanto la dimensión$n$de$V$debe ser múltiplo de$2^p$.$\Box$

Explicación intuitiva

Preliminar: Un vector tiene muchos componentes como elementos de la base del espacio vectorial.

Una base de álgebra de Clifford es generada por todos los productos (independientes) de los generadores (en el caso de la ecuación de Dirac estos son los$\gamma$'s).

el conteo

Hay tantos$\gamma$'s como la dimensión del espacio-tiempo, y según la definición el álgebra incluye una unidad,

$$\bigl\{\gamma^a,\gamma^b\bigr\} = 2 \eta^{ab}\mathbf{1}.$$

Para cualquier elemento extra la nueva base consta de los elementos base anteriores más el producto de cada uno de ellos por el elemento extra. Esta es la nueva base que tiene el doble de elementos. Por lo tanto,

$$\dim(\mathcal{C}\ell(n)) = 2^{n}.$$

Para representar esta álgebra se necesitan "matrices" de$2^{n/2}\times 2^{n/2}$, lo cual no es malo para espacios-tiempos pares.

Dicho esto, el problema (que no pretendo demostrar) viene con espacio-tiempos de dimensiones impares... sin embargo, de nuevo intuitivamente, esta álgebra puede ser representada por dos copias del álgebra de co-dimensión uno, es decir , una dimensión menos. Esta es la razón por la que la mínima dimensionalidad para la representación de los$\gamma$es

$$\dim(\gamma) = 2^{\lfloor n/2\rfloor}\times 2^{\lfloor n/2 \rfloor}.$$

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Si se pregunta si se puede encontrar una representación más grande de la$\gamma$'s, la respuesta es SÍ, pero terminará con una extensión no fundamental o trivial.

Buena pregunta. Para responder esto, comencemos con el álgebra de Clifford generada por$\gamma$matrices.

$$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ con$\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$con la firma métrica$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$. Usando$I$y$\gamma_{\mu}$podemos construir un conjunto de matrices de la siguiente manera $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N}. \end{equation}$$

Existen

$$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ tales matrices. llamémoslos$\Gamma_{A}$, dónde$A$corre de$0$a$2^{N}-1$. Ahora deja$\gamma_{\mu}$son$d\times d$matrices irreducibles dimensionales. Nuestro objetivo es encontrar una relación entre$d$y$N$. Con este fin, definamos una matriz $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Dónde$Y$es algo arbitrario$d\times d$matriz. Se sigue que $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Donde hemos usado$\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$, con$\epsilon_{AB}^{2}=1$

Por eso

$$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ Ya que$S$conmuta con todas las matrices del conjunto, por el lema de Schur concluimos que$S$debe ser proporcional a la matriz identidad para que podamos escribir $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$

Tomando rastro obtenemos

$$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ o $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$

Tomando el$(j; m)$elemento de matriz de ambos lados de la última ecuación rendimiento

$$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}((\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ dónde$j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$y hemos usado el hecho de que Y es un valor arbitrario$d \times d$matriz. si establecemos$j = k; l = m$y la suma de estos dos índices, que da $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Hay dos casos a considerar, a saber,$N$incluso y$N$extraño. Para$N = 2M$(incluso),$\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$excepto por$\Gamma_{0} = 1$para cual$\text{Tr} \Gamma_{0} = d$. Lo que da $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Este es el resultado principal. Para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de Minkowski$N=4$en consecuencia, la dimensión de la representación irreductible es$d = 2^{4/2} =4$.

Una prueba rigurosa de la dimensionalidad de$\gamma$Las matrices provienen de la teoría de representación de grupos. Se trata de encontrar la representación irreducible del álgebra de Clifford. Un libro reciente de Ashok Das sobre teoría de grupos discutió eso en gran profundidad. Un capítulo etair de este libro dedicado a encontrar la representación del álgebra de Clifford tanto en dirección par como impar. Ver página no 162 para el prrof.

Peter West dio una prueba agradable y linda en

http://arxiv.org/abs/hep-th/9811101 .

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