¿Qué transformación da una representación tipo Weyl al invertir γ0γ0\gamma^0 y γ5γ5\gamma^5?

La representación habitual de Weyl de las matrices de Dirac se define así:

$$\tag{1}\gamma_W^a = T_W \, \gamma^a \, T_W^{-1},$$ dónde $$\begin{align}\tag{2} T_W &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \gamma^5 \, \gamma^0), & T_W^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \gamma^5 \, \gamma^0) \equiv T_W^{\dagger}. \end{align}$$ Luego obtenemos una especie de rotación en el espacio de matrices de Dirac (observe el signo en$\gamma_W^5$): $$\begin{align}\tag{3} \gamma_W^0 &= \gamma^5, &\gamma_W^i &= \gamma^i, &\gamma_W^5 &= -\, \gamma^0. \end{align}$$ Esta es la representación de Weyl de las matrices de Dirac.

Ahora, me pregunto si hay una transformación similar que realizaría un volteo de$\gamma^0$y$\gamma^5$, en lugar de una rotación en el$(\gamma^0, \, \gamma^5)$"avión". estoy buscando una matriz$V$(probablemente unitario) tal que

$$\begin{align} \gamma_V^0 &= V \, \gamma^0 \, V^{-1} = \gamma^5, \tag{4} \\[1ex] \gamma_V^i &= V \, \gamma^i \, V^{-1} = \gamma^i, \tag{5} \\[1ex] \gamma_V^5 &= V \, \gamma^5 \, V^{-1} = \gamma^0. \tag{6} \end{align}$$ ¿Es posible tal transformación usando alguna matriz unitaria?$V$? ¿Cómo podemos encontrarlo explícitamente?

Las transformaciones (4) y (6) implican que ambos$\gamma^0$y$\gamma^5$conmutar con la matriz$V^2 \equiv V \, V$:

$$\begin{align}\tag{7} V^2 \, \gamma^0 &= \gamma^0 \, V^2, & V^2 \, \gamma^5 &= \gamma^5 \, V^2. \end{align}$$ Mi intuición me dice que no hay matriz unitaria$V$satisfaciendo (4)-(6), pero probablemente me equivoque. ¡El inicio de sesión (3) me cabrea!