¿Cuál es la relación entre el grupo de Lorentz y el álgebra CL(1,3)CL(1,3)CL(1,3)?

Comenzaré en el contexto del espacio tridimensional y luego extenderé el contexto al espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Un observable debe ser invariante bajo un$2\pi$rotación. Un modelo generalmente se construye en términos de operadores de campo, y los observables se expresan en términos de operadores de campo, pero los operadores de campo en sí mismos no necesitan ser invariantes bajo un$2\pi$rotación. Esto es importante debido al teorema de la estadística de espín , que dice que en QFT relativista, un campo de fermiones (cuya partícula correspondiente obedece el principio de exclusión de Pauli) debe cambiar de signo bajo un$2\pi$rotación.

Entonces, si queremos poder manejar el principio de exclusión de Pauli en una QFT relativista, necesitamos una forma de construir campos que cambien de signo bajo una$2\pi$rotación. Representaciones del grupo de rotación$O(3)$no hagas esto Necesitamos algo más. El álgebra de Clifford nos da una buena manera de construir ese algo más.

Aún trabajando en el contexto del espacio tridimensional, supongamos que tenemos tres matrices$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$que satisfacen

$$\gamma_j\gamma_k+\gamma_k\gamma_j=2\delta_{jk}.$$ Podemos representar un vector ordinario como$\mathbf{v}=\sum_k v^k\gamma_k$. Las manipulaciones familiares de vectores se pueden expresar usando esta representación. En las siguientes ecuaciones,$\mathbf{v}\mathbf{u}$significa el producto matricial de las representaciones matriciales de$\mathbf{v}$y$\mathbf{u}$. (Como producto abstracto, aparte de cualquier representación matricial, esto se llamaría el producto de Clifford ). El producto escalar de dos vectores$\mathbf{v}$y$\mathbf{u}$es $$\frac{\mathbf{v}\mathbf{u}+\mathbf{u}\mathbf{v}}{2} =(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})I,$$ dónde$I$es la matriz de identidad, y el reemplazo más natural para el "producto cruzado" es $$\mathbf{v}\wedge\mathbf{u}\equiv \frac{\mathbf{v}\mathbf{u}-\mathbf{u}\mathbf{v}}{2},$$ que es una combinación lineal de los bivectores base$\gamma_j\gamma_k$. (Esto se denomina producto de cuña y produce un bivector, como debería ser, en lugar de un vector). Una rotación a través de un ángulo$\theta$en el$1$-$2$plano (por ejemplo) está dado por $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right).$$ Esta es una rotación ordinaria del vector$\mathbf{v}$a través del ángulo$\theta$(no$\theta/2$) en el$1$-$2$avión (también conocido como "sobre el$3$eje"). Un espinor es una matriz de una sola columna$\psi$que se transforma bajo rotaciones según $$\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi.$$ Para motivar esto, observe que el producto$\mathbf{v}\,\psi$de nuevo se transforma como spinor: $$\mathbf{v}\,\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi = \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\mathbf{v}\,\psi.$$ Más aún, si elegimos la representación matricial de la$\gamma$-matrices de modo que$\gamma_k^\dagger=\gamma_k$, entonces la cantidad$\psi^\dagger\mathbf{v}\psi$es invariante bajo todas las rotaciones. Y si$\theta=2\pi$, entonces podemos usar$(\gamma_1\gamma_2)^2=-1$probar que la transformación se reduce a$\psi\mapsto-\psi$, que es lo que queremos. Esto significa que$\psi$por sí mismo no puede ser un observable, sino algo que implica un producto de dos$\psi$s todavía puede ser un observable porque los signos menos se cancelan.

Las matrices más pequeñas que satisfacen la primera ecuación son$2\times 2$, por lo que podemos representar$\psi$como una matriz de columna con dos componentes (complejos). Estos corresponden a los componentes de "giro hacia arriba" y "giro hacia abajo" de un electrón, por ejemplo. Las ecuaciones anteriores muestran cómo estos dos componentes se mezclan entre sí bajo una rotación.

En resumen, en cuanto a la importancia física de la$\gamma$-matrices en el espacio tridimensional: podemos usarlas para describir vectores ordinarios, incluidas las rotaciones ordinarias, y también proporcionan una buena forma de describir cosas que cambian de signo bajo$2\pi$rotaciones, como deberían hacerlo los fermiones. Así que tenemos todo lo que necesitamos, todo en un solo paquete.

Ahora haga la transición al espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Tenemos básicamente la misma historia pero con el grupo de rotación.$O(3)$reemplazado por el grupo Lorentz. Para mantener la coherencia con la conexión de estadísticas de espín, necesitamos una forma de construir representaciones que cambien de signo bajo un$2\pi$rotación. Las representaciones del grupo de Lorentz en sí no hacen esto, pero nuevamente podemos usar el álgebra de Clifford. Por cierto, todo esto se generaliza muy bien a un número arbitrario de dimensiones de espacio-tiempo, pero aquí solo mostraré el caso 4-d.

Supongamos que tenemos 4 matrices$\gamma_\mu$que satisfacen

$$\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu},$$ dónde$\eta_{\mu\nu}$son los componentes de la métrica de Minkowski. Podemos representar un cuatrivector ordinario como$\mathbf{v}=\sum_\mu v^\mu\gamma_\mu$. Los comentarios anteriores sobre los productos punto y el producto cuña también se aplican aquí. (El "producto cruzado", que pretende construir un vector a partir de los dos vectores de entrada, no se generaliza al espacio-tiempo de cuatro dimensiones, pero el producto cuña sí.) Una transformación de Lorentz (impulso o rotación) en el$\mu$-$\nu$plano está dado por $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right).$$ El efecto de la misma transformación de Lorentz en un espinor de Dirac$\psi$es $$\psi \mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right)\psi.$$ De nuevo, esto cambia de signo bajo un$2\pi$rotación, por lo que podemos usar esto para un campo de fermiones. No puede ser un observable por sí mismo, pero podemos usarlo para construir observables porque cualquier producto de un número par de estas cosas es invariante bajo un$2\pi$rotación. Las matrices más pequeñas que satisfacen la relación definitoria tienen tamaño$4\times 4$. (En$2n$-espacio-tiempo dimensional, tienen tamaño$2^n\times 2^n$, y tienen este mismo tamaño en$2n+1$-espacio-tiempo dimensional.)

En resumen, en cuanto a la importancia física de la$\gamma$-matrices en espacio-tiempo de cuatro dimensiones: podemos usarlas para describir impulsos de Lorentz de cosas como vectores ordinarios, y también proporcionan una buena manera de describir cosas que cambian de signo bajo$2\pi$rotaciones, como deberían hacerlo los fermiones. Así que tenemos todo lo que necesitamos, todo en un solo paquete, sin mencionar nada sobre las raíces cuadradas de las ecuaciones de Klein-Gordon.

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Por cierto, decir que un campo de fermiones debe cambiar de signo bajo un$2\pi$la rotación puede parecer problemática, porque dice que las partículas ordinarias de espín 1/2, como los electrones, los protones y los neutrones, también deben tener esta propiedad. Lo hacen , y eso no es un problema. No es un problema en, digamos, un estado de un solo electrón, porque el cambio de signo en ese caso es solo un cambio en el coeficiente general del vector de estado, que no tiene consecuencias observables. Causaría un problema en un estado como$|\text{even}\rangle+|\text{odd}\rangle$esa es una superposición de estados con un número par e impar de fermiones, y tales superposiciones no están permitidas en QFT . Los estados con números pares e impares de fermiones pertenecen a diferentes sectores de superselección . Lo que podemos hacer es considerar una superposición de dos ubicaciones diferentes de un solo fermión, y luego el cambio de signo bajo un$2\pi$la rotación tiene consecuencias observables indirectas. Esto se ha demostrado en experimentos de interferencia de neutrones, básicamente experimentos de dos rendijas con una distancia macroscópica entre los dos caminos en el interferómetro. (La difracción en un cristal se usó como sustituto de las "rendijas"). Se usaron imanes para causar la precesión de cualquier neutrón que pasa a través de uno de los caminos, y el efecto en el patrón de interferencia de dos rendijas resultante muestra el efecto del signo -cambiar bajo$2\pi$rotaciones Esto se revisa en "Análisis teórico y conceptual del célebre$4\pi$-experimentos de interferometría de neutrones de simetría", https://arxiv.org/abs/1601.07053 .

La construcción se puede generalizar a un$n$-dimensional$\mathbb{F}$-espacio vectorial$V$con un$\mathbb{F}$-forma bilineal simétrica no degenerada$g: V\times V\to \mathbb{F}$. Dejar$(e_k)_{k=1, \ldots, n}$ser una base para$V$y$g_{jk}:=g(e_j,e_k)$.

1. El grupo ortogonal (posiblemente indefinido )

   $$O(V)~:=~\{M\in GL(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(M(v), M(w))~=~g(v,w) \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}~\{M\in GL(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(M(v), M(v))~=~g(v,v) \} \tag{1}$$ con el álgebra de Lie correspondiente $$so(V)~:=~\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(m(v),w)+g(v,m(w))~=~0 \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(m(v),v)+g(v,m(v))~=~0 \}~. \tag{2}$$ Hay un isomorfismo en el espacio vectorial $$\bigwedge{}^2 V~\ni~\omega ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~~\mapsto~~ -i((\cdot)^{\flat})\omega ~=~\sum_{j,k,\ell=1}^n e_j \omega^{jk}{}g_{k\ell} e^{\ast\ell} \in~so(V), \tag{3}$$ dónde$i:V^{\ast}\times \bigwedge V \to \bigwedge V$denota el producto interior y$\flat:V\to V^{\ast}$es el isomorfismo musical $v\mapsto v^{\flat}:=g(v,\cdot)$.

2. El álgebra de Clifford se define como

   $$Cl(V)~:=~T(V)/I(V), \qquad T(V)~:=~\bigoplus_{n=0}^{\infty} T^n(V),$$ $$T^n(V)~:=~ \underbrace{V\otimes \ldots\otimes V}_{n\text{ factors}},\qquad T^0(V)~:=~\mathbb{F}, \tag{4}$$ dónde$I(V)$es el ideal de dos colas en$T(V)$generado por $$\{v\otimes v - g(v,v){\bf 1} \in T(V)~|~ v\in V\}.\tag{5}$$ El mapa lineal$\Phi: V\to {\rm End}(\bigwedge V)$dado por una suma de multiplicación exterior e interior$v\mapsto e(v)+i(v^{\flat})$se puede extender a un homomorfismo de álgebra $$\Phi: T(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{6}$$ de modo que $$\Phi(v\otimes v)~=~ \Phi(v)\circ \Phi(v)~=~\ldots~=~g(v,v)\Phi({\bf 1}) \tag{7}$$ con núcleo${\rm Ker}(\Phi)=I(V)$. En otras palabras, hay un homomorfismo de álgebra $$\widetilde{\Phi}: Cl(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{8}$$ Entonces $$Cl(V)~\ni~ c~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1)~\in~ \bigwedge V\tag{9}$$ es un isomorfismo en el espacio vectorial. En particular $$Cl(V)^{\rm even}~\ni~ c~=~\frac{1}{4}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}(e_j\otimes e_k-e_k\otimes e_j)$$ $$~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1) ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~=~\bigwedge{}^2 V.\tag{10}$$

3. Los mapas (3) y (10) se pueden combinar para producir una incrustación$so(V) \hookrightarrow Cl(V)^{\rm even}$. En lenguaje sencillo: Los generadores del álgebra de Lie (2) se pueden identificar con anticonmutadores de matrices gamma (hasta la normalización). Véanse también las referencias. 1 y 2

Referencias:

1. S. Sternberg, Lie álgebras, 2004; Capítulo 9.

2. W. Fulton y J. Harris, Teoría de la representación, 1991; Conferencia 20.