¿Por qué la ecuación de Dirac requiere que las matrices sean rotacionalmente invariantes?

El término con las derivadas, es en realidad una derivada direccional

$$\alpha^k\partial_k=\vec \alpha\cdot \nabla$$ y si se aplica a una función $f$mide su cambio a lo largo de esa dirección particular: $$\alpha^k\partial_kf=\vec \alpha\cdot \nabla f=|\vec\alpha|\frac{\partial f}{\partial\vec n} =|\vec\alpha|\lim_{\delta x\to0}\frac{f(\vec x+\delta x\:\vec n)-f(\vec x)}{\delta x}$$ dónde $\vec \alpha=|\vec \alpha|\:\vec n$. Si $\alpha$es fijo: si sus entradas son números reales simples que se transforman como un vector, entonces esta derivada direccional continuará apuntando a esa dirección en particular, independientemente del marco en el que se encuentre. Es decir, no es rotacionalmente invariante.

No es inmediatamente obvio que el problema se pueda solucionar convirtiéndolos en matrices, pero al menos debería quedar claro que si son más grandes que 1×1, ya no necesitan definir claramente una dirección particular en el espacio. Resulta que las matrices de Dirac tienen una representación más complicada del grupo de Lorentz (que incluye, entre otras cosas, rotaciones), y esto les permite retener la invariancia rotacional de la ecuación.

Comprender:

(1) Cómo los generadores de rotación:$-i\sigma^x$,$-i\sigma^y$y$-i\sigma^z$están ocultos en una función de onda de espinor y

(2) Cómo las derivadas de primer orden de una onda plana pueden producir la relación$~~p_o^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2$,

necesitará conocer la siguiente identidad fundamental:

$\exp(-i\phi)~~\xi_s ~~=~~ \exp(-i\phi~~\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~~\xi_s$

dónde$\xi_s$es un espinor que apunta en la dirección$\vec{s}=\{s_x, s_y, s_z\}$y donde$\vec{\sigma}=\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$

Esto nos dice que agregar una fase$-i\phi$a la función de onda gira el campo de espinor en un ángulo de$2\phi$alrededor de su propio eje . ¡Esta es una relación muy fundamental! Si sustituimos esto de la manera correcta en una onda plana como$\exp(-ip_ot + i\vec{p}\cdot\vec{x})$, obtendremos la siguiente expresión:

$\exp(-ip_ot + i~(\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)$

Usando$\vec{s}=\vec{p}/p_o$, porque el espinor (que se transforma en luz) gira en la dirección de su propagación, esto da.

$\exp\left(-i(~p_o^2t - (\vec{p}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)~/p_o\right)~\xi_s$

La derivada parcial en, por ejemplo, la$x$-la dirección nos da un factor$i~(p_x^2\sigma_x + p_xp_y\sigma_y+p_xp_z\sigma_z)/p_o$y ahora ven cual es el efecto de multiplicar las derivadas parciales de 1er orden con las matrices de Pauli, ya que para todos los cuadrados

$(i\sigma_o)^2=(i\sigma_x)^2=(i\sigma_y)^2=(i\sigma_z)^2~~=~~-I$

y debido a las reglas anti-conmutación cancelar los términos cruzados:

$\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x=0,~~~~\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_y=0,~~~~\sigma_z\sigma_x+\sigma_x\sigma_z=0$

Por tanto las multiplicaciones de matrices eliminan las matrices en las derivadas parciales y obtenemos los factores simples$~~p_o^2/p_o-p_x^2/p_o-p_y^2/p_o-p_z^2/p_o$. En cuanto al campo completo de dos espinores de Dirac, es más fácil usar la representación relativista con dos componentes de espinores transformantes similares a la luz.$\xi_L$y$\xi_R$pero de lo anterior se obtiene la idea general.