Elemento de identidad faltante en la relación de Clifford

Puede ser más fácil escribir todo en términos de índices explícitos,

$$\gamma^\mu_{\alpha \beta} \gamma^\nu_{\beta \delta} + \gamma^\nu_{\alpha \beta} \gamma^\mu_{\beta \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ Hay una suma sobre $\beta$en el lado izquierdo. Cuando introduce valores explícitos para $\alpha$, $\delta$, $\mu$, y $\nu$, ambos lados son solo números. los índices $\mu$y $\nu$son índices de Lorentz, que describen las propiedades de transformación de Lorentz de ambos lados. los índices $\alpha$, $\beta$, y $\delta$son índices de espinor, que se transforman de manera diferente. Es una completa coincidencia que ambos van desde $1$a $4$.

Puede ver cómo esto se ve torpe, por lo que podríamos simplemente factorizar los índices de espinor,

$$(\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu)_{\alpha \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ Entonces la multiplicación de matrices del lado izquierdo se vuelve implícita. Podemos ir un paso más allá y suprimir los índices del espinor por completo, dando $$\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu\nu}.$$ El problema es que el lado izquierdo sigue siendo claramente un $4 \times 4$matriz en el espacio de espinor, pero el lado derecho no parece tener ningún índice de espinor. Están ahí, pero no hay una manera simple de mostrarlo. podrías escribir $\eta^{\mu\nu} 1_4$en el lado derecho, pero eso invita a cierta confusión ya que parece que el $1_4$multiplica $\eta^{\mu\nu}$. No puede indicar que es una matriz de identidad en el espacio spinor. La notación abreviada habitual no es perfecta, pero es una de las mejores opciones que tenemos.

Intentemos resumir las características de la$\gamma$-matrices y el tensor métrico para el espacio plano de Minkowski. Primero nuestro$\eta^{\mu\nu}$puede ser representado por la matriz

$$\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \newline 0&-1&0&0\newline 0&0&-1&0\newline 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}.$$

Ahora interpretas el$\eta^{\mu\nu}$como el$\mu\nu$-componente de esa matriz. Entonces no tiene sentido decir eso$\eta^{00} = I_4$pero se puede concluir que el$00$-componente de su tensor métrico es idéntico al$00$-componente de$I_4$($I^{00} = 1$).

Si miras$(\gamma^\mu)^2$entonces puedes mostrar la siguiente identidad

$$2\eta^{\mu\mu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\mu\} = \gamma^\mu \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^\mu = 2(\gamma^\mu)^2.$$

Para los elementos fuera de la diagonal obtendrá similar que

$$2\eta^{\mu\nu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\nu\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = \gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\mu\gamma^\nu = 0 \cdot I_4.$$

FWIW, surge un problema similar en el CCR

$$[\hat{q}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar ~\delta^j_k \hat{\bf 1}$$

del álgebra de Heisenberg, donde los autores a menudo no escriben el operador de identidad$\hat{\bf 1}$explícitamente.