Una pregunta sobre conmutadores en mecánica cuántica.

Question

Una pregunta sobre conmutadores en mecánica cuántica.

Física
conmutador
observables
mecánica cuántica
sistemas coordinados
Principio de incertidumbre de Heisenberg

usuario11937

Propongo el siguiente experimento mental:

Supongamos que tenemos un haz de electrones preparados de manera idéntica que se divide en dos. El primero pasa por el detector A que detecta el $x+y$ dónde $x$ es la coordenada a lo largo de la dirección x y $y$ es la coordenada a lo largo de la $y$ dirección. Entonces, medimos la diferencia de los momentos de los electrones en el $x$ y $y$ direcciones, es decir $p_{x}-p_{y}$ . Entonces, de acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, podemos medir ambas cantidades con precisión arbitraria ya que

[X + y, {pag}_{X} - {pag}_{y}] = [X, {pag}_{X}] - [y, {pag}_{y}] = 0

$[x+y, p_{x}-p_{y}]=[x,p_{x}]-[y,p_{y}]=0$ El segundo haz de electrones se somete a una medición similar por un detector B pero esta vez medimos

x - y

$x-y$ y luego medir la suma de momentos, es decir

p_{x} + p_{y}

$p_{x}+p_{y}$ . Entonces, de nuevo podemos medir

x - y

$x-y$ y

p_{x} + p_{y}

$p_{x}+p_{y}$ con precisión arbitraria porque

[X - y, {pag}_{X} + {pag}_{y}] = [X, {pag}_{X}] - [y, {pag}_{y}] = 0

$[x-y, p_{x}+p_{y}]=[x,p_{x}]-[y,p_{y}]=0$ Luego, sumando los resultados de las mediciones tenemos

(x + y) + (x - y) = 2 x

$(x+y)+(x-y)=2x$ y luego

(p_{x} - p_{y}) + (p_{x} - p_{y}) = 2 p_{x}

$(p_{x}-p_{y})+(p_{x}-p_{y})=2p_{x}$ . Uno de cada uno,

x

$x$ y

p_{x}

$p_{x}$ puede medirse con precisión arbitraria violando así el principio de incertidumbre. Si, por otro lado, llevamos a cabo este experimento y descubrimos que no podemos medir las cantidades anteriores con una precisión arbitraria, se deduce que los postulados de la mecánica cuántica no predicen correctamente el resultado del experimento en el sentido de que el conmutador desaparece pero no podemos medir las cantidades con una precisión arbitraria.

¿Significa esto que los postulados de la mecánica cuántica son inconsistentes? (¡Ciertamente no lo espero!)

Tobias Funke

Relacionado

garyp

Un haz de electrones preparados de manera idéntica que se divide en dos me parece una contradicción, tal vez un malentendido de lo que significa "preparados de manera idéntica".

j murray

Tenga en cuenta que si realiza una

π / 4

$\pi/4$ rotación

(x, y) \mapsto (u, v)

$(x,y)\mapsto (u,v)$ ,

x + y = u \sqrt{2}

$x+y=u\sqrt{2}$ y

p_{x} - p_{y} = p_{v} \sqrt{2}

$p_x-p_y=p_v\sqrt{2}$ , por lo que también puede reemplazar esas expresiones por

[x, p_{y}] = 0

$[x,p_y]=0$ y

[y, p_{x}] = 0

$[y,p_x]=0$ . El álgebra extra solo sirve para ofuscar tu pregunta.

usuario11937

@ J.Murray No veo cómo rotas una cantidad escalar. La cantidad es la magnitud en la dirección x más la magnitud en la dirección y, que resulta ser una cantidad escalar.

j murray

@ user11937 Estoy diciendo que si rotas el

(x, y)

$(x,y)$ hachas por

π / 4

$\pi/4$ para conseguir nuevas hachas

(u, v)

$(u,v)$ , entonces la cantidad

x + y

$x+y$ simplemente se convierte

u \sqrt{2}

$u\sqrt 2$ mientras

x - y

$x-y$ se convierte

v \sqrt{2}

$v\sqrt 2$ , y de manera similar para los momentos. agregando

x + y

$x+y$ no le da algo nuevo, es solo la posición medida a lo largo de un eje diferente.

usuario11937

@J.Murray mira si tengo un detector que mida

x + y = 1 + σ

$x+y=1+\sigma$ dónde

σ

$\sigma$ es la incertidumbre en la medida. Entonces

y = 1 - x + σ

$y= 1-x+\sigma$ ahora dime cómo tu transformación de coordenadas reduce la línea recta con intersección en 1 y pendiente igual a -1 a tu nuevo eje (u,v).

j murray

@ user11937 Me temo que realmente no entiendo lo que estás preguntando. Todo lo que digo es que medir

x + y

$x+y$ y

p_{x} - p_{y}

$p_x-p_y$ es exactamente lo mismo (además del factor de

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ ) como medida

x

$x$ y

p_{y}

$p_y$ con un detector que está orientado a 45 grados con respecto al original, por lo que la suma y resta de varias cantidades no tiene ninguna influencia en el corazón de su pregunta.

usuario11937

@J.Murray, si va a realizar una transformación de coordenadas, también debe realizar una transformación de coordenadas adecuada en los operadores p_u y p_v. Si haces una transformación de coordenadas para p_u usando la regla de la cadena, obtienes p_u = p_x + p_y y para p_v = p_x - p_y. Y si tuvo cuidado al leer la pregunta, notará que después de medir la coordenada u, medimos p_x - p_y, que resulta ser p_v. Así que no veo cuál es el problema.

j murray

@ user11937 Una vez más, no hay problema per se, pero también puede decir que está midiendo

x

$x$ y

p_{y}

$p_y$ en una viga y

y

$y$ y

p_{x}

$p_x$ en el otro. Por lo tanto, afirma que está midiendo simultáneamente

x

$x$ y

p_{x}

$p_x$ - lo que tiene muy poco sentido para mí porque estás midiendo diferentes haces . En cualquier caso, el uso de las coordenadas no rotadas no ayuda a dilucidar el problema y solo sirve como una cortina de humo algebraica que oscurece la pregunta real, ya sea que se dé cuenta o no.

usuario11937

@ J.Murray No entiendo cuál es el propósito de la transformación de coordenadas para responder a este problema. ¿Estás diciendo que las medidas de un experimento son independientes del marco de referencia? ¿Y si el resultado de un experimento se mantiene en un marco, automáticamente se mantiene en otro?

j murray

@ usuario11937 Estoy diciendo que su configuración podría reformularse como "Divido el haz en dos y mido

(x, p_{y})

$(x,p_y)$ en una viga y

(y, p_{x})

$(y,p_x)$ por el otro, que parece dar una medida simultánea de

x

$x$ y

p_{x}

$p_x$ .” La suma y la resta no tienen otro propósito que el de hacer la pregunta algo más opaca; Dicho esto, ya hay varias buenas respuestas.

usuario11937

@ J.Murray nuevamente, no veo qué transformación de coordenadas busca lograr. Es como decir que no necesitamos fórmulas complicadas para medir el espín porque si medimos el espín en su marco de referencia giratorio, siempre será 0.

j murray

@ user11937 Obviamente, mi punto no es transmitir. En su respuesta a la respuesta de Mark, argumenta que su propuesta es fundamentalmente diferente de la que él sugiere. Mi punto es que son exactamente iguales , y el hecho de que pienses lo contrario sugiere que estás confundido por tu elección de coordenadas. De todos modos, está claro que no estoy siendo efectivo, así que me detendré.

usuario11937

@ J.Murray Todo lo que dice es que el conmutador de u y p_v es 0 en las nuevas coordenadas. Luego dice que debería haber dicho que estoy midiendo u y p_v en las nuevas coordenadas, como si eso cambiara algo sobre mi pregunta. ¿Estás insinuando que siempre debemos medir en el sistema de coordenadas que estás definiendo? Para ser honesto, me gustaría que conectara la transformación de coordenadas con mi pregunta porque está declarando un hecho que es irrelevante para mi pregunta.

Respuestas (5)

Una pregunta sobre conmutadores en mecánica cuántica.

Un haz de electrones preparados de manera idéntica que se divide en dos me parece una contradicción, tal vez un malentendido de lo que significa "preparados de manera idéntica".
Tenga en cuenta que si realiza una $\pi/4$ rotación $(x,y)\mapsto (u,v)$ , $x+y=u\sqrt{2}$ y $p_x-p_y=p_v\sqrt{2}$ , por lo que también puede reemplazar esas expresiones por $[x,p_y]=0$ y $[y,p_x]=0$ . El álgebra extra solo sirve para ofuscar tu pregunta.
@ J.Murray No veo cómo rotas una cantidad escalar. La cantidad es la magnitud en la dirección x más la magnitud en la dirección y, que resulta ser una cantidad escalar.
@ user11937 Estoy diciendo que si rotas el $(x,y)$ hachas por $\pi/4$ para conseguir nuevas hachas $(u,v)$ , entonces la cantidad $x+y$ simplemente se convierte $u\sqrt 2$ mientras $x-y$ se convierte $v\sqrt 2$ , y de manera similar para los momentos. agregando $x+y$ no le da algo nuevo, es solo la posición medida a lo largo de un eje diferente.
@J.Murray mira si tengo un detector que mida $x+y=1+\sigma$ dónde $\sigma$ es la incertidumbre en la medida. Entonces $y= 1-x+\sigma$ ahora dime cómo tu transformación de coordenadas reduce la línea recta con intersección en 1 y pendiente igual a -1 a tu nuevo eje (u,v).
@ user11937 Me temo que realmente no entiendo lo que estás preguntando. Todo lo que digo es que medir $x+y$ y $p_x-p_y$ es exactamente lo mismo (además del factor de $\sqrt 2$ ) como medida $x$ y $p_y$ con un detector que está orientado a 45 grados con respecto al original, por lo que la suma y resta de varias cantidades no tiene ninguna influencia en el corazón de su pregunta.
@J.Murray, si va a realizar una transformación de coordenadas, también debe realizar una transformación de coordenadas adecuada en los operadores p_u y p_v. Si haces una transformación de coordenadas para p_u usando la regla de la cadena, obtienes p_u = p_x + p_y y para p_v = p_x - p_y. Y si tuvo cuidado al leer la pregunta, notará que después de medir la coordenada u, medimos p_x - p_y, que resulta ser p_v. Así que no veo cuál es el problema.
@ user11937 Una vez más, no hay problema per se, pero también puede decir que está midiendo $x$ y $p_y$ en una viga y $y$ y $p_x$ en el otro. Por lo tanto, afirma que está midiendo simultáneamente $x$ y $p_x$ - lo que tiene muy poco sentido para mí porque estás midiendo diferentes haces . En cualquier caso, el uso de las coordenadas no rotadas no ayuda a dilucidar el problema y solo sirve como una cortina de humo algebraica que oscurece la pregunta real, ya sea que se dé cuenta o no.
@ J.Murray No entiendo cuál es el propósito de la transformación de coordenadas para responder a este problema. ¿Estás diciendo que las medidas de un experimento son independientes del marco de referencia? ¿Y si el resultado de un experimento se mantiene en un marco, automáticamente se mantiene en otro?
@ usuario11937 Estoy diciendo que su configuración podría reformularse como "Divido el haz en dos y mido $(x,p_y)$ en una viga y $(y,p_x)$ por el otro, que parece dar una medida simultánea de $x$ y $p_x$ .” La suma y la resta no tienen otro propósito que el de hacer la pregunta algo más opaca; Dicho esto, ya hay varias buenas respuestas.
@ J.Murray nuevamente, no veo qué transformación de coordenadas busca lograr. Es como decir que no necesitamos fórmulas complicadas para medir el espín porque si medimos el espín en su marco de referencia giratorio, siempre será 0.
@ user11937 Obviamente, mi punto no es transmitir. En su respuesta a la respuesta de Mark, argumenta que su propuesta es fundamentalmente diferente de la que él sugiere. Mi punto es que son exactamente iguales , y el hecho de que pienses lo contrario sugiere que estás confundido por tu elección de coordenadas. De todos modos, está claro que no estoy siendo efectivo, así que me detendré.
@ J.Murray Todo lo que dice es que el conmutador de u y p_v es 0 en las nuevas coordenadas. Luego dice que debería haber dicho que estoy midiendo u y p_v en las nuevas coordenadas, como si eso cambiara algo sobre mi pregunta. ¿Estás insinuando que siempre debemos medir en el sistema de coordenadas que estás definiendo? Para ser honesto, me gustaría que conectara la transformación de coordenadas con mi pregunta porque está declarando un hecho que es irrelevante para mi pregunta.

marca mitchison · Answer 1

marca mitchison

Sería mucho más simple medir directamente $x$ de tu primer haz y $p_x$ del segundo haz.

Uno de cada uno, $x$ y $p_x$ puede medirse con precisión arbitraria violando así el principio de incertidumbre.

No hay violación del principio de incertidumbre. Si tiene un suministro ilimitado de sistemas preparados de manera idéntica, puede medir con precisión arbitraria (en principio). El principio de incertidumbre limita lo que puede medir simultáneamente en un solo sistema .

usuario11937

Si hago lo que dices, localizaré una partícula en un haz y perderé toda la información sobre sus momentos y viceversa en el segundo haz. Lo que no me ayuda a encontrar el momento que pertenece a un electrón en una región específica del espacio. Mientras que en mi experimento estoy midiendo tanto la región que ocupa el electrón como su momento dentro de la región del espacio.

j murray

@ user11937 Según el comentario que acabo de dejar sobre la pregunta original, su propuesta difiere de la de Mark simplemente por una trivialidad

π / 4

$\pi/4$ rotación de sus ejes de referencia (y escalado por

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ )

Carmeister

@ user11937 Lo mismo sucede si mides

x + y

$x+y$ : la posición de la partícula en el

x + y

$x+y$ dirección se vuelve localizada por lo que pierde toda la información sobre

p_{x} + p_{y}

$p_x+p_y$ .

usuario11937

@Carmeister estamos midiendo p_x - p_y que conmuta con x+y, por lo que medir ambos observables con precisión arbitraria no es un problema.

Carmeister

@ user11937 Sí, pero entonces estás midiendo

p_{x} + p_{y}

$p_x+p_y$ del segundo haz de electrones y afirmando que te informa sobre el valor de

p_{x} + p_{y}

$p_x+p_y$ para el primer haz. Pero cuando mediste

x + y

$x+y$ del primer haz cambiaste el valor de

p_{x} + p_{y}

$p_x+p_y$ por ese rayo.

usuario11937

@Carmeister Mido la suma de los momentos después de que las partículas pasan por el filtro xy. No veo cómo la medición de la suma de coordenadas en el primer haz afecta la medición de la suma de momentos en el segundo haz, ya que están divididos y no hay ningún tipo de enredo.

Medusa superrápida

@ user11937 "No veo cómo la medida de [...] el primer rayo afecta la medida de [...] el segundo rayo" ese es el punto. ¡Las dos medidas no están correlacionadas! Entonces, agregarlos no nos dice nada sobre las medidas individuales.

prahar · Answer 2

prahar

Está asumiendo que los dos haces de electrones son dos sistemas diferentes en estados cuánticos idénticos. El principio de incertidumbre limita la medición de dos observables que no conmutan en un sistema, pero no dice nada sobre las mediciones en sistemas separados. Si tuviera dos sistemas idénticos en estados idénticos, podría medir $x$ en un sistema y $p_x$ en el otro sistema que me daría una medida precisa de $x$ y $p_x$ al mismo tiempo. No hay necesidad de pasar por el complicado proceso que ha descrito.

Tobias Funke

El teorema de no clonación trata con un estado desconocido... Además, ¿por qué la medición de

p_{x}

$p_x$ en

A_{1}

$A_1$ incluso violar el HUP? Si repitiera las medidas muchas veces, entonces encontraría (para un estado 'genérico')

σ (x) σ (p) \geq ℏ

$\sigma (x) \sigma(p) \geq \hbar$ .

prahar

@Jakob No violaría HUP. Ese es mi punto. Medir una variable con una alta precisión arbitraria no viola HUP. La idea de OP es tomar dos sistemas idénticos, medir

x

$x$ en un sistema con alta precisión y luego medir

p_{x}

$p_x$ en la segunda copia idéntica con alta precisión. Al hacer esto, habrías medido ambos

x

$x$ y

p_{x}

$p_x$ con una precisión muy alta y no haber violado HUP. Lo que quiero decir es que este tipo de medición NO es una violación de HUP en absoluto.

prahar

@Jakob El problema aquí es el requisito de tener dos sistemas idénticos en primer lugar.

Tobias Funke

Tu dices: Entonces mide $x$ en $A$ y $p_x$ en $A_1$ y de esa manera habría violado el principio de incertidumbre - y pregunté: ¿por qué? No veo una violación del HUP: si crea un conjunto de estados idénticos (lo que, en principio, es posible si conoce el estado), entonces las variaciones correspondientes de los resultados de la medición no pueden volverse arbitrariamente pequeñas. No veo ninguna violación del HUP aquí.

prahar

@Jakob: entendiste mal esa oración. Lo cambiaré para que no cause confusión. PD: estaba describiendo cómo sería un argumento en contra de mi respuesta, pero claramente no entendí ese punto.

Medusa superrápida

Si bien la mayor parte de su respuesta es correcta, la parte de su respuesta que no permite la clonación es incorrecta. El teorema nos restringe de copiar/clonar estados arbitrarios. No restringe la preparación de estados idénticos. Siempre podemos preparar estados idénticos de nuestra elección (por medio de un operador cuyo estado propio es nuestro estado de elección).

prahar

@SuperfastJellyfish lo eliminó.

usuario11937

@Prahar, lea mi comentario sobre la respuesta de Mark anterior porque su respuesta es muy similar a la suya.

Sandejo · Answer 3

Luego, sumando los resultados de las mediciones tenemos $(x+y)+(x−y)=2x$ y luego $(p_x−p_y)+(p_x−p_y)=2p_x$ .

No del todo, hay dos problemas con esto. El primer problema es que, dado que hay dos electrones, es necesario que haya dos conjuntos de operadores de posición y momento, por lo que el $x$ en el primer término es diferente del $x$ en el segundo término.

El segundo problema es que estás descuidando la distinción entre los operadores y los valores propios. Por ejemplo, en el primer caso, en realidad no tienes $x$ y $y$ valores propios, ya que no mediste $\hat x$ y $\hat y$ ; solo mediste $\hat x+\hat y$ (Uso sombreros para indicar operadores). Como tal, en realidad no puedes romper $(x+y)$ en $x+y$ . Por esta razón, tiene más sentido definir nuevos operadores, basados en la rotación y el escalamiento mencionados por J. Murray , $\hat u_i=\hat x_i+\hat y_i,\hat v_i=\hat x_i-\hat y_i$ , y de manera similar para el momento (los subíndices denotan los dos conjuntos de operadores para las dos partículas).

Dado esto, los valores que ha medido son $u_1$ , $p_{v1}$ , $v_2$ y $p_{u2}$ . Dado que los cuatro operadores correspondientes viajan diariamente, no hay inconsistencia aquí.

Encuentro extraño que una descripción probabilística de los operadores de posición y momento se base en una sola observación de un solo electrón. En otras palabras, ¿cómo mediría la desviación estándar del momento y la posición de un solo electrón en una sola observación? Por lo tanto, para tener una medida válida de la desviación estándar de cada observable, necesitaría realizar una medida en una colección de partículas preparadas de manera idéntica, que es el caso de mi pregunta. Además, para la transformación de coordenadas, lea mi último comentario anterior.
@ user11937 Realmente no tiene sentido hablar de la desviación estándar de una sola observación, a menos que esté hablando de la incertidumbre de la medición, que es otra cosa. La desviación estándar de un operador está definida por $\sigma_{\hat A}=\sqrt{\langle\hat A\rangle^2-\langle A\rangle^2}$ . Dado que esta expresión contiene valores esperados, tiene sentido que medirla requiera realizar mediciones en conjuntos de partículas en el mismo estado, porque la desviación estándar se define para el estado, no para la partícula.
@user11937 Con respecto al tema de la transformación de coordenadas, no introduje ninguna transformación de coordenadas; todo lo que hice fue definir un nuevo conjunto de operadores en términos de los antiguos por conveniencia. El $\hat u$ y $\hat p_u$ los operadores aún podrían estar representados en el $x,y$ base por $\langle\psi\rvert\hat u\lvert x,y\rangle=(x+y)\langle\psi|x,y\rangle$ y $\langle\psi\rvert\hat p_u\lvert x,y\rangle=-i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)\langle\psi|x,y\rangle$ .
¿Y cómo se mide un estado sin una partícula física en ese estado abstracto? A su segundo comentario: por lo que está cambiando el nombre del operador
@ user11937 Aún necesita una partícula física para realizar la medición. Solo digo que la desviación estándar de un operador es una propiedad del estado, en lugar de la partícula. Esto es relevante porque, cuando realizas la medición, cambias el estado de la partícula.
Primero, la desviación estándar se refiere únicamente a los resultados del operador (busque cualquier libro de texto como Sakurai) y, por lo tanto, es una propiedad del operador mismo. En segundo lugar, si los dos operadores conmutan, no está destruyendo el estado, como medir los operadores x+y y p_x - p_y en ese orden.
@ user11937 Por supuesto, la desviación estándar depende del operador, eso debería ser evidente. cuando mides $\hat x+\hat y$ el estado cambia a un estado propio de ese operador; cuando mides $\hat p_x-\hat p_y$ , ya que eso conmuta con $\hat x+\hat y$ , el estado cambia a un estado propio conjunto de ambos operadores.
Si te molesta pensar que el sistema se divide en dos, es decir, el haz se divide en dos, puedes pensarlo de esta manera: medimos x+y y luego p_x - p_y. Luego giramos el filtro 90 grados a x- y y medimos p_x + p_y en el conjunto de partículas.
Si el $\hat x+\hat y$ y $\hat x-\hat y$ se realizan mediciones sobre diferentes partículas, entonces es necesario pensar en el sistema como dividido en dos. Si las medidas se hacen sobre la misma partícula, eso haría que obtuvieras resultados diferentes, ya que las medidas no se harían sobre el mismo estado.

Medusa superrápida · Answer 4

Permítanme tratar de reformular lo que todas las otras respuestas están tratando de decir.

Considere que el estado inicial es tal que cada (x,y) es igualmente probable dentro de un cuadrado de unidad de longitud. Lo que esto significa es que dentro de ese cuadrado cada punto tiene la misma probabilidad y fuera de él la probabilidad de detección es cero. Puede elegir cualquier estado que desee, no afectará los argumentos que siguen.

Ahora consideremos las dos medidas que hacemos; uno de $\hat x + \hat y$ y otro de $\hat x - \hat y$ . Después de medir el primero, su estado se localiza en un punto (p1) dentro del cuadrado de la unidad. Pero aquí está la cosa, cuando mides el segundo, el estado se localiza en otro punto (p2) que la mayoría de las veces no es lo mismo que p1.

¿Ahora ve por qué no tiene sentido sumar las dos medidas y llamarlo una sola medida? La segunda medida es independiente de la primera, por lo que combinarlas no tiene sentido. Es más evidente cuando etiquetamos correctamente a nuestros operadores de medida. $\hat x_1 + \hat y_1$ y $\hat x_2 + \hat y_2$ .

Si repites este conjunto de medidas infinitas veces, rellenarás el cuadrado (información completa del estado inicial). Pero cada medición posterior no tiene correlación con la anterior.

Jagerber48 · Answer 5

Luego, sumando los resultados de las mediciones tenemos $(x+y)+(x−y)=2x$ y luego $(px−py)+(px−py)=2px$ .

Este es el problema. has medido $x+y$ en la primera viga y $x-y$ en la segunda viga. Estas dos cantidades no están realmente relacionadas. podrías escribir

(X_{1} + y_{1}) - (X_{2} - y_{2})

$(x_1+y_1)-(x_2-y_2)$

pero no tenemos $x_1=x_2$ o $y_1=y_2$ , por lo que no puede concluir nada interesante sobre la posición o los momentos de las vigas individuales.

Dicho esto, esta idea ha sido explorada en la literatura de optodinámica de cavidades: Møller et. Alabama. "Acción trasera cuántica que evade la medición del movimiento en un marco de referencia de masa negativa" (2017) . Mi conclusión es que sí, cuando tiene más de 1 sistema con posición y momento, puede encontrar combinaciones lineales de su posición y momento que conmutan, lo que permite la medición simultánea de esas combinaciones lineales. Sin embargo, no está obteniendo información completa sobre ningún subsistema en particular en este caso, por lo que las restricciones habituales impuestas por la mecánica cuántica siguen siendo válidas.

Una pregunta sobre conmutadores en mecánica cuántica.

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