Prueba de Relación de Conmutación Canónica (CCR)

Como Lubos ha mencionado

$QP-PQ=i\hbar$

es uno de los requisitos básicos de la mecánica cuántica. Clásicamente observables son funciones de variables$q$, y$p$y relación de paréntesis de Poisson leer

$\{q,p\}=1$(tenga en cuenta que$\{q,p\}$es cantidad sin unidad)

En QM, se requiere que los observables sean operadores hermitianos (para que puedan tener valores propios reales). En particular para la posición tenemos un operador$Q$, y para el impulso tenemos un operador$P$. El soporte Poisson se reemplaza por el conmutador y requerimos

$[Q,P]=i\hbar$

En analogía con los corchetes de Poisson clásicos, habríamos requerido

$[Q,P]=1$

Pero esto no es posible ya que

i) Ya hemos requerido que$Q,P$ser hermitiano. Entonces$[Q,P]^\dagger=(QP-PQ)^\dagger=(QP)^\dagger-(PQ)^\dagger=PQ-QP=-[Q,P]$. Entonces si requerimos$[Q,P]$para ser una constante (es decir, un múltiplo constante de la matriz de identidad), debe ser puramente imaginario.

ii)$[Q,P]$tiene unidades de$ML^2T^{-1}$. Puedes ver esto al notar que$Q$es un operador de posición, por lo que tiene unidades de$L$, y eso$P$es un operador de cantidad de movimiento, por lo que tiene unidades de$MLT^{-1}$.

Dos opciones naturales son$[Q,P]=i\hbar$y$[Q,P]=-i\hbar$. Ambos son equivalentes y la elección de$[Q,P]=i\hbar$es solo una convención.

Ninguna matriz de dos dimensiones finitas puede satisfacer$[Q,P]=i\hbar$. Esto se puede ver tomando trazas en ambos lados. Sin embargo, esta relación puede ser satisfecha por matrices de dimensión infinita. Más explícitamente, tome el espacio vectorial como espacio de funciones de$q$. Definir$Q$como$Qf=qf$, y$P$como$Pf=-i\hbar\partial f/\partial q$. Entonces se puede ver que estos operadores satisfacen la relación de conmutación requerida. Además, si definimos nuestro producto interno como

$(f,g)=\int f^* g\: dq$

entonces$Q$y$P$definida como arriba también será hermítica.

En una representación matricial,$Q$y$P$son matrices de dimensión infinita. (Las matrices de dimensión finita no servirían; la traza de los dos lados de la relación de conmutación da una contradicción).

Muchos posibles pares de matrices califican; los mejores se obtienen al expresar la posición y el momento en una base de estados propios del oscilador armónico. Consulte
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_mechanics#Harmonic_oscillator
De hecho, esta es la representación original de Heisenberg para la "mecánica de matrices".)

La representación de posición utilizada con más frecuencia (o representación de momento) toma$Q$(resp.$P$) como operador de multiplicación de funciones de onda dependiendo de la posición (o momento), y$P$(resp.$Q$) como un operador diferencial de primer orden elegido para que coincida con la relación de conmutación.

Demostrar la relación cuando$Q$y$P$se dan, simplemente aplique ambos lados a un vector de estado arbitrario y compruebe que se obtiene el mismo resultado.

Uno puede formular reglas más generales que determinen los conmutadores de operadores en una teoría cuántica obtenida de un Lagrangiano o un Hamiltoniano. Sin embargo, siempre tiene que haber algunos axiomas. En los modelos más simples de la mecánica cuántica, es más legítimo decir que$xp-px=i\hbar$es simplemente un axioma clave de la mecánica cuántica, por lo que no se puede derivar de nada "más profundo".

El hecho de que no se trasladen, que su producto dependa del pedido, implica que$x,p$no pueden ser números ordinarios. En cambio, son operadores: los operadores no tienen que viajar. Un$\hat L$operador es algo que asigna a cada vector$|\psi\rangle$de un espacio – en el caso de la mecánica cuántica, el espacio de Hilbert – el resultado$\hat L |\psi \rangle$.

Si se elige una base del espacio con un número finito o numerable de elementos, toda la información sobre un operador lineal puede expresarse en términos de elementos de la matriz$\langle i|\hat L |j\rangle = b(j,L(i))$y el conjunto de estos productos internos, es decir, los elementos de la matriz, es una matriz.

Esta imagen de la física es coherente, pero la coherencia tiene muchos aspectos, por lo que es una pregunta amplia. En esencia, desea explicar por qué funciona todo en la mecánica cuántica. Bueno, lo hace, pero no es una prueba de 1 línea. La mecánica cuántica es la teoría correcta de todo, por lo que no sería prudente esperar pruebas de 1 línea de su consistencia o validez. Si tiene alguna inquietud más particular o una coherencia hipotética, actualice su pregunta.