De la incertidumbre a las relaciones de conmutación

Considere el famoso problema de medir tanto la posición como el momento de un electrón. Empezamos con dos fotografías en momentos diferentes, luego nos preocupamos por el impulso del fotón, la longitud de onda de la luz, la apertura de la cámara, etc. Terminamos con las clásicas relaciones de incertidumbre; bueno, en realidad un poco más: tenemos una idea de los signos de los errores (por ejemplo, sabemos de qué lado el fotón golpeó al electrón).

Supongamos ahora que tenemos una idea de que las medidas se realizan mediante la aplicación de ALGUNOS operadores (no necesariamente los estándar) en un espacio de Hilbert. ¿Podemos deducir algo parecido a las relaciones canónicas de conmutación entre los operadores de posición y momento? En otras palabras, ¿la implicación entre conmutación y orden de medición es solo de una manera (las relaciones de conmutación son consistentes con las mediciones), o podemos dar una implicación limitada de la otra manera?

El interés está en los nuevos sistemas cuánticos: si hay una idea de cómo funciona la teoría de la medición, ¿es esta una guía para el álgebra de observables? (Además de ser de interés histórico o filosófico general sobre si la teoría cuántica podría haber tomado otro giro utilizando diferentes representaciones de operadores).

Bueno, puedes derivar Δ A ⋅ Δ B ≥ 1 2 ⟨ [ A , B ] ⟩ de la suposición de que una medida corresponde a los valores esperados de los operadores en un espacio de Hilbert. Por lo tanto, si su "teoría de la medición" le dice que el producto de las incertidumbres está limitado por algo, obtendrá alguna información sobre el conmutador. Tenga en cuenta que esto tiene que ser válido para todas las medidas posibles en todas las funciones de onda posibles (¡La LHS de la desigualdad depende de la función de onda!).
Gracias, eso parece interesante. ¿De dónde viene la desigualdad? Supongo que ese puede ser el límite de lo que se puede hacer en general.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/43821/2451 Para la forma opuesta: relaciones de conmutación ⇒ incertidumbre, consulte physics.stackexchange.com/q/10362/2451 , physics.stackexchange.com/q/24116/2451 y sus enlaces.
Estas notas explican su problema con todo detalle (prueban Δ A Δ B ≤ 1 / 2 ⟨ [ A , B ] ⟩ damtp.cam.ac.uk/user/eal40/teach/QM2012/7comm.pdf La prueba comienza en la ecuación 331 Buena suerte. Si realmente quieres que lo haga, puedo resumirlo, pero deberías poder obtener el punto de las notas (yo creo que son de Tong)

Respuestas (1)

El principio de incertidumbre entre dos observables está relacionado con su conmutador de forma general y profunda. El principio de incertidumbre generalizada se puede demostrar de forma bastante general utilizando álgebra matricial simple y la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

I) Supongamos que tenemos dos operadores hermitianos (también conocidos como observables) A ^ y B ^ . Los posibles resultados de una medida son sus eevenvalues ​​y la dispersión en la medida es:

( Δ A ^ ) 2 = ⟨ A ^ 2 ⟩ − ⟨ A ^ ⟩ 2

Siempre podemos elegir un nuevo sistema de referencia para establecer < A ^ >= 0 entonces obtenemos:

( Δ A ^ ) 2 = ⟨ A ^ 2 ⟩ = ∫ ψ ∗ A ^ 2 ψ d X = ⟨ ψ | A ^ 2 | ψ ⟩

Y obviamente lo mismo vale para B ^ .

II) Usando la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

⟨ ψ | A ^ A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | B ^ B ^ | ψ ⟩ ⩾ | ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | 2

Se puede obtener inmediatamente:

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | 2

III) Ahora, podemos reducir el término a la derecha

| ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | ⩾ | I metro [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ] = | 1 2 i [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ∗ ] |

Donde he usado que el módulo de un número complejo es mayor que su parte imaginaria y luego usé el hecho de que si F = R mi ( F ) + i I metro ( F ) entonces I metro ( F ) = 1 2 i ( F − F ∗ ) .

IV) Porque A ^ y B ^ son observables entonces ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | ( A ^ B ^ ) † | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ( B ^ A ^ ) | ψ ⟩

V) Finalmente, usando este resultado podemos reescribir la desigualdad como:

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | 1 2 i [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | B ^ A ^ | ψ ⟩ ] | = | 1 2 i [ ⟨ A ^ B ^ ⟩ − ⟨ B ^ A ^ ⟩ ] | = | 1 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ |

Entonces, la dispersión en dos operadores hermitianos está relacionada con su conmutador

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | 1 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ |

Supongo que podría medir la dispersión de dos observables con mayor precisión para encontrar algún límite superior en su conmutador.

Tenga en cuenta que esto funciona para dos observables que desee usar, no solo para los canónicos como X y P.

Por el contexto, puedo decir que por Δ A ^ 2 te refieres a ( Δ A ^ ) 2 y no Δ ( A ^ 2 ) , pero sería bueno que hiciera explícita la diferencia, especialmente para preguntas como esta, que atraen a muchos físicos novatos.
el problema es que el límite es, en general, dependiente del estado, por lo que obtendrá una mejor información sobre los valores promedio de los conmutadores, no mucho más. Lunless puede garantizar que se encuentra en un estado propio específico de este conmutador, esto no es mucho ... y luego olvídese de los elementos fuera de la diagonal ...
@BobKnighton tienes toda la razón, déjame editarlo
En el paso V) falta el cuadrado del lado derecho
¿Por qué es cierto que siempre podemos elegir un sistema de referencia para establecer ⟨ A ⟩ = 0 ?
De la incertidumbre a las relaciones de conmutación
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