¿Por qué es imposible medir la posición y el momento al mismo tiempo con precisión arbitraria?

Cuando alguien pregunta "¿Es realmente imposible medir simultáneamente la posición y el momento con precisión arbitraria en la teoría cuántica?", la mejor respuesta preliminar que uno puede dar es otra pregunta: "¿Qué quiere decir exactamente con medición , precisión y posición y impulso ?". Esas palabras tienen varios significados en la teoría cuántica, reflejados en la literatura y la práctica experimental. En cierto sentido, una medición simultánea y arbitrariamente precisa de la posición y el momento no solo es posible, sino que también se realiza de forma rutinaria en muchos laboratorios cuánticos, por ejemplo, en los laboratorios de óptica cuántica. De hecho, dicha medición es el núcleo de las aplicaciones cuánticas modernas, como la distribución de clave cuántica.

Creo que es mejor aclarar primero cuáles son los diferentes significados de medición , posición , momento en aplicaciones reales y en la literatura, y luego dar ejemplos de los diferentes procedimientos experimentales que se denominan "medición de posición", etc. Lo importante es para entender lo que se está haciendo; el resto es solo semántica.

Déjame llegar paso a paso. La respuesta a continuación resume lo que puede encontrar en artículos actuales publicados en revistas científicas y libros de texto actuales, trabajos y resultados que yo mismo he experimentado como investigador en óptica cuántica. Todas las referencias se dan a lo largo de la respuesta, y algunas adicionales al final. Le recomiendo encarecidamente que vaya y los lea . Además, esta respuesta pretende discutir el principio de incertidumbre y la medición simultánea dentro de la teoría cuántica . Quizá en el futuro todos utilicemos una teoría alternativa en la que a los mismos hechos experimentales se les dé un significado diferente; existen tales teorías alternativas propuestas en la actualidad, y muchos investigadores están trabajando en alternativas. Finalmente, esta respuesta trata de evitar la terminologíadebates, explicando el lado experimental y de laboratorio del asunto. Se darán advertencias sobre la terminología en todo momento. (Sin embargo, no quiero decir que la terminología no sea importante: diferentes terminologías pueden inspirar diferentes direcciones de investigación).

Debemos tener cuidado, porque nuestra comprensión del principio de incertidumbre hoy en día es muy diferente de cómo lo veía la gente en los años 1930-1950. La comprensión moderna también se confirma en la práctica experimental moderna. Hay dos puntos principales que aclarar.

1. ¿Qué entendemos exactamente por "medida" y por "precisión" o "$\Delta x$"?

El cuadro general es este:

1. Podemos preparar una copia de un sistema físico de acuerdo con algún protocolo específico. Decimos que el sistema ha sido preparado en un estado específico (generalmente representado por una matriz de densidad$\pmb{\rho}$). Luego realizamos una operación específica que produce un resultado. Decimos que hemos realizado una instancia de una medida en el sistema (generalmente representada por una llamada medida de valor de operador positivo $\{\pmb{O}_i\}$, dónde$i$etiqueta los posibles resultados).

2. Podemos repetir el procedimiento anterior de nuevo (nueva copia del sistema) tantas veces como queramos, de acuerdo con los mismos protocolos específicos. Por lo tanto, estamos haciendo muchas instancias del mismo tipo de medición, en copias del sistema preparadas en el mismo estado. Obtenemos así una colección de resultados de medición, a partir de los cuales podemos construir una distribución de frecuencia y estadísticas. A lo largo de esta respuesta, cuando digo "repetición de una medida", lo digo en este sentido específico.

También está la cuestión de qué sucede cuando hacemos dos o más mediciones en sucesión, en el mismo sistema . Pero no voy a discutir eso aquí; ver las referencias al final.

Por eso los enunciados empíricos generales de la teoría cuántica tienen esta forma: "Si preparamos el sistema en el estado$\pmb{\rho}$, y realice la medición$\{\pmb{O}_i\}$, tenemos una probabilidad$p_1$de observar el resultado$i=1$, una probabilidad$p_2$de observar el resultado$i=2$, ..." y así sucesivamente (con límites continuos apropiados para resultados continuos).

Ahora, hay una precisión/error de medición asociado con cada instancia individual de la medición, y también una variabilidad de los resultados a través de las repeticiones de la medición. El primer tipo de error puede hacerse tan pequeño como queramos. La variabilidad entre repeticiones, sin embargo, generalmente parece no ser reducible por debajo de una cantidad distinta de cero que depende del estado específico y la medición específica. Esta última variabilidad es lo que el "$\Delta x$" en la fórmula de Heisenberg se refiere a .

Entonces, cuando decimos "no se puede medir con precisión arbitraria", lo que queremos decir más exactamente es que "su variabilidad a través de las repeticiones de medición no se puede hacer arbitrariamente baja". El misterio fundamental de la mecánica cuántica es la falta, de manera sistemática, de reproducibilidad entre instancias de medición. Pero el error en el resultado de cada instancia individual no tiene límite inferior teórico.

Por supuesto, esta situación afecta nuestras habilidades predictivas, porque cada vez que repetimos el mismo tipo de medición en un sistema preparado en el mismo tipo de estado, realmente no sabemos qué esperar, dentro de$\Delta x$.

Esta importante distinción entre instancias de medición únicas y múltiples fue señalada por primera vez por Ballentine en 1970:

• Ballentine: La Interpretación Estadística de la Mecánica Cuántica , Rev. Mod. física 42 (1970) 358 ( otra copia )

véase especialmente la muy explicativa Fig. 2 allí. Y no es una cuestión de "interpretación", como podría sugerir hoy el título. Es un hecho experimental. Ejemplos experimentales claros de esta distinción se dan, por ejemplo, en

• Leonhardt: Medición del estado cuántico de la luz (Cambridge 1997)

véase por ejemplo la Fig. 2.1 allí y su explicación. También los más avanzados

• Mandel, Wolf: coherencia óptica y óptica cuántica (Cambridge 2008).

Véanse también los libros de texto que figuran a continuación.

La distinción entre el error de una instancia de medición y la variabilidad entre instancias de medición también es evidente si piensa en un experimento de Stern-Gerlach. Supongamos que preparamos un giro en el estado$x+$y lo medimos en la dirección$y$. La medición produce solo uno de dos puntos claramente distintos, correspondientes al resultado$+\hbar/2$o$-\hbar/2$en el$y$dirección. Este resultado puede tener algún error en la práctica, pero en principio podemos distinguir claramente si es$+\hbar/2$o$-\hbar/2$. Sin embargo, si preparamos un nuevo giro en el estado$x+$y medir$y$nuevamente, podemos encontrar muy bien el resultado opuesto, nuevamente medido con mucha precisión. A lo largo de muchas mediciones observamos estos$+$y$-$resultados aproximadamente 50% cada uno. La desviación estándar es$\hbar/2$, y ese es de hecho el "$\Delta S_y$dada por las fórmulas cuánticas: se refieren a repeticiones de medición, no a una sola instancia en la que envías un solo electrón a través del aparato.

Debe enfatizarse que algunos autores (por ejemplo, Leonhardt arriba) usan el término "resultado de medición" para referirse, no al resultado de un solo experimento, sino al valor promedio$\bar{x}$encontrado en varias repeticiones de un experimento. Por supuesto, este valor promedio tiene incertidumbre.$\Delta x$. No hay contradicción aquí, solo una terminología diferente. Puede llamar a "medición" lo que quiera, solo sea preciso al explicar cuál es su protocolo experimental. Algunos autores usan el término "medición de una sola vez" para aclarar la distinción; como ejemplo, revisa estos títulos:

• Pyshkin et al: Enfriamiento del estado fundamental de los sistemas cuánticos a través de una medición única , Phys. Rev. A 93 (2016) 032120 ( arXiv )

• Yung et al: límites de detección de un disparo de iluminación cuántica con señales discretas , npj Quantum Inf. 6 (2020) 75 ( arXiv ).

El hecho de que, aunque la incertidumbre predictiva$\Delta x$es finito, podemos tener una precisión infinita en una sola medición (one-shot), no es inútil, pero es muy importante en aplicaciones como la distribución de clave cuántica . En muchos protocolos de distribución de claves, las dos partes que comparten claves comparan los valores precisos$x$obtuvieron en mediciones de instancia única de sus estados entrelazados. Estos valores se correlacionarán con su error de medición de instancia única, que es mucho menor que la incertidumbre predictiva$\Delta x$. La presencia de un espía destruiría esta correlación. Por lo tanto, las dos partes pueden saber que hay un espía si ven que sus valores medidos solo concuerdan dentro de$\Delta x$, en lugar de dentro del error de medición de instancia única mucho más pequeño. Este esquema no funcionaría si el error de medición de instancia única fuera$\Delta x$. Ver por ejemplo

• Reid: criptografía cuántica con una clave predeterminada, utilizando correlaciones de variable continua de Einstein-Podolsky-Rosen , Phys. Rev. A 62 (2000) 062308 ( arXiv )

• Grosshans et al: Distribución de clave cuántica utilizando estados coherentes modulados por gaussiano , Nature 421 (2003) 238 ( arXiv ). En la Figura 2 se puede ver muy bien la diferencia entre el error de medición de una sola instancia y la variabilidad$\Delta x$a través de las medidas.

• Madsen et al: Distribución de clave cuántica variable continua con estados entrelazados modulados (acceso libre), Nat. Com. 3 (2012) 1083. Véase especialmente la Fig. 4 y su explicación.

2. ¿Qué es exactamente una "medida de posición" o de "momentum"?

En la mecánica clásica solo hay una medida (aunque se pueda realizar por diferentes medios tecnológicos) de cualquier cantidad específica$Q$, como la posición, el giro o el impulso. Y la mecánica clásica dice que el error en una instancia de medición y la variabilidad entre instancias pueden reducirse tanto como queramos.

En la teoría cuántica existen muchos protocolos experimentales diferentes que podemos interpretar, por distintas razones, como "medidas" de esa cantidad.$Q$. Por lo general, todos arrojan el mismo valor medio entre repeticiones (para un estado determinado), pero difieren en otras propiedades estadísticas, como la varianza. Debido a esto, y a la variabilidad explicada anteriormente, Bell (del famoso teorema de Bell ) protestó que en realidad no deberíamos llamar "medidas" a estos procedimientos experimentales:

• Bell: Contra la "medición" ( otra copia ), en Miller, ed .: Sixty-Two Years of Uncertainty: Historical, Philosophical, and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Mechanics (Plenum 1990).

En particular, en la física clásica hay una medida conjunta y simultánea de posición y momento. En la teoría cuántica existen varios protocolos de medición que pueden interpretarse como mediciones conjuntas y simultáneas de posición y momento , en el sentido de que cada instancia de dicha medición produce dos valores, uno es la posición y el otro es el momento. En el límite clásico se convierten en la medida simultánea clásica de$x$y$p$. Esta posibilidad fue señalada por primera vez por Arthurs & Kelly en 1965:

• Arthurs, Kelly: Sobre la medición simultánea de un par de observables conjugados , Bell Syst. tecnología J. 44 (1965) 725 ( otra copia ).

y más discutido, por ejemplo, en

• Stenholm: Medición simultánea de variables conjugadas , Ann. física (Nueva York) 218 ​​(1992) 233.

Esta medida simultánea no está representada por$\hat{x}$y$\hat{p}$, pero por un par de operadores de desplazamiento$(\hat{X}, \hat{P})$satisfactorio$\hat{X}+\hat{x}=\hat{a}$,$\hat{P}+\hat{p}=\hat{b}$, para elegidos especialmente$\hat{a}, \hat{b}$. El punto es que el operador conjunto$(\hat{X}, \hat{P})$puede llamarse legítimamente una medida simultánea de posición y momento, porque se reduce a esa medida en el límite clásico (y obviamente tenemos$\bar{X}=\bar{x}, \bar{P}=\bar{p}$). De hecho, a partir de las ecuaciones anteriores bien podríamos decir que$\hat{x},\hat{p}$se definen en términos de$\hat{X},\hat{P}$, en lugar de viceversa.

Este tipo de medición simultánea, que es posible para cualquier par de variables conjugadas, no solo la posición y el momento, no es una peculiaridad teórica, sino una medición de rutina diaria en los laboratorios de óptica cuántica, por ejemplo. Se utiliza para hacer tomografía cuántica , entre otras aplicaciones. Que yo sepa, una de las primeras realizaciones experimentales se realizó en 1984:

• Walker, Carroll: Mediciones simultáneas de fase y amplitud en señales ópticas utilizando una unión multipuerto , Electron. Letón. 20 (1984) 981, 1075.

Puede encontrar descripciones teóricas y experimentales detalladas en el libro de Leonhardt anterior, capítulo 6, titulado " Medición simultánea de posición y momento ".

Pero como dije, hay varios protocolos diferentes de los que se puede decir que son una medición simultánea de observables conjugados, correspondientes a diferentes opciones de$\hat{a},\hat{b}$. Lo que es interesante es la forma en que estas medidas difieren. Pueden verse como formando un continuo entre dos extremos (véanse las referencias anteriores):

– En un extremo, la variabilidad entre las repeticiones de medición de$X$tiene un límite inferior (que depende del estado del sistema), mientras que la variabilidad de$P$es infinito. Básicamente es como si estuviéramos midiendo$X$sin medir$P$. Esto corresponde a la tradicional$\hat{x}$.

– En el otro extremo, la variabilidad entre las repeticiones de medición de$P$tiene un límite inferior, mientras que la variabilidad para$X$es infinito. Entonces es como si estuviéramos midiendo$P$sin medir$X$. Esto corresponde a la tradicional$\hat{p}$.

– En el medio, hay protocolos de medición que tienen cada vez más variabilidad para$X$a través de instancias de medición, y cada vez menos variabilidad para$P$. Este "continuo" de protocolos de medición se interpola entre los dos extremos anteriores. Hay un "punto dulce" en el medio en el que tenemos una medición simultánea de ambas cantidades con una variabilidad finita para cada una. El producto de sus variabilidades,$\Delta X\ \Delta P$, ya que este "protocolo de medición de punto dulce" satisface una desigualdad similar a la conocida para variables conjugadas, pero con un límite superior ligeramente mayor que el tradicional$\hbar/2$(solo el doble, vea la ecuación (12) en Arthurs & Kelly). Por lo tanto, hay que pagar un precio por la capacidad de medirlos simultáneamente.

Este tipo de "continuo" de mediciones simultáneas también es posible para el famoso experimento de la doble rendija. Se realiza mediante el uso de detectores "ruidosos" en las rendijas. Hay configuraciones en las que podemos observar una interferencia débil más allá de la pantalla de dos rendijas y, al mismo tiempo, tener cierta certeza sobre la rendija en la que se podría detectar un fotón. Ver por ejemplo:

• Wootters, Zurek: Complementariedad en el experimento de la doble rendija: no separabilidad cuántica y una declaración cuantitativa del principio de Bohr , Phys. Rev. D 192 (1979) 473

• Banaszek et al: Experimento de mecánica cuántica de qué manera con un grado de libertad interno , Nat. Com. 4 (2013) 2594 ( arXiv )

• Chiao et al: No localidad cuántica en experimentos de dos fotones en Berkeley , Quant. Semiclase. Optar. 73 (1995) 259 ( arXiv ), para variaciones de este experimento.

Podríamos tener la tentación de preguntar "Está bien, pero ¿cuál es la medida real de la posición y el impulso, entre todos estos?". Pero dentro de la teoría cuántica, esta es una pregunta sin sentido, similar a preguntar "¿En qué marco de referencia son estos dos eventos realmente simultáneos?" dentro de la teoría de la relatividad. Las nociones y cantidades clásicas de posición y momento simplemente no existen en la teoría cuántica. tenemos variosotras nociones y cantidades que tienen algunas similitudes con las clásicas. ¿Cuál considerar? depende, del contexto y la aplicación. De hecho, la situación tiene algunas similitudes con la de la "simultaneidad" en la relatividad: hay "diferentes simultaneidades" que dependen del marco de referencia; cuál elegimos depende del problema y la aplicación.

En teoría cuántica no podemos decir realmente "el sistema tiene estos valores", o "estos son los valores reales ". Todo lo que podemos decir es que cuando le hacemos tal y tal cosa al sistema, sucede tal y tal cosa. Por esta razón, muchos físicos cuánticos (consulte, por ejemplo, Busch et al. a continuación) prefieren hablar de "intervención en un sistema" en lugar de "medición de un sistema" (personalmente, también evito el término "medición").

Resumiendo: también podemos decir que es posible una medición simultánea y arbitrariamente precisa de la posición y el impulso, y de hecho es una rutina.

Entonces, la respuesta a su pregunta es que en una sola instancia de medición podemos (¡y lo hacemos!) Medir la posición y el impulso simultáneamente y ambos con precisión arbitraria . Este hecho es importante en aplicaciones como la distribución de clave cuántica, mencionada anteriormente.

Pero también observamos una variabilidad inevitable en repeticiones idénticas de tal medida. Esta variabilidad hace que la precisión arbitraria de una sola medición no sea importante en otras aplicaciones, donde en su lugar se requiere consistencia a través de repeticiones.

Además, debemos especificar cuál de las medidas simultáneas de momento y posición estamos realizando: no es una sola, como en la física clásica.

Para hacerse una idea de esto, puede imaginarse a dos científicos cuánticos teniendo esta conversación:

– "Ayer realicé una medición simultánea de la posición y el momento usando el procedimiento experimental$M$y preparando el sistema en estado$S$."
– "¿Qué valores esperaba encontrar antes de realizar la medición?"
– "La densidad de probabilidad de obtener valores$x,p$era, según la teoría cuántica,$P(x,p)=\dotso$. su media era$(\bar{x},\bar{p}) = (30\cdot 10^{-17}\ \mathrm{m},\ 893\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$y sus desviaciones estándar fueron$(\Delta x, \Delta p)=(1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 1\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$, el límite cuántico. Así que estaba esperando el$x$resultado para aterrizar en algún lugar entre$29 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$y$31 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$; y el$p$resultado en algún lugar entre$892 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$y$894 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$." (Observe cómo el producto de las desviaciones estándar es$\hbar\approx 10^{-34}\ \mathrm{J\ s}$.)
– "¿Y qué resultado dio la medición?"
- "Encontré$x=(31.029\pm 0.00001)\cdot 10^{-17}\ \textrm{m}$y$p=(893.476 \pm 0.00005)\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$, dentro de los anchos de los diales. Están de acuerdo con los rangos predictivos dados por la teoría".
– "Entonces, ¿vas a utilizar esta configuración en tu aplicación?"
- "No. Necesito poder predecir$x$con algo más de precisión, incluso si eso significa que mi predicción de$p$empeora un poco. Así que usaré una configuración que tenga variaciones$(\Delta x, \Delta p)=(0.1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 10\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$en cambio."

Incluso si la respuesta a su pregunta es positiva, debemos enfatizar que: (1) el principio de Heisenberg no se viola , porque se refiere a la variabilidad entre repeticiones de medición, no al error en una sola medición. (2) Sigue siendo cierto que los operadores$\hat{x}$y$\hat{p}$no se puede medir simultáneamente . Lo que estamos midiendo es un operador ligeramente diferente; pero este operador puede llamarse correctamente una medida conjunta de posición y momento, porque se reduce a esa medida en el límite clásico.

Por lo tanto, las declaraciones pasadas de moda sobre el principio de incertidumbre deben tomarse con pinzas. Cuando precisamos más lo que entendemos por "incertidumbre" y "medida", resultan tener caras nuevas, inesperadas y muy emocionantes.

Aquí hay varios buenos libros que discuten estos asuntos con claridad, precisión y evidencia experimental:

• de Muynck: Fundamentos de la mecánica cuántica, un enfoque empirista (Kluwer 2004)

• Peres: Teoría cuántica: conceptos y métodos (Kluwer 2002) ( otra copia )

• Holevo: Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica (2ª ed. Edizioni della Normale, Pisa, 2011)

• Busch, Grabowski, Lahti: Física cuántica operativa (Springer 1995)

• Nielsen, Chuang: Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge 2010) ( otra copia )

• Bengtsson, Życzkowski: Geometría de los estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico (2.ª ed. Cambridge 2017).

No puede medir valores precisos al mismo tiempo porque los valores precisos para ambos no existen al mismo tiempo.

Todas las propiedades de, digamos, un electrón y se deducen de la función de onda del electrón,$\Psi(\vec x)$. La función de onda es un objeto matemático que cubre todo el espacio. Tiene un valor complejo en cada punto.

El electrón no tiene una posición precisa. En cambio, tiene una probabilidad de ser encontrado en cada punto,$\vec x$, en el espacio al ser medido. esa probabilidad es$\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)$. (Eso es un poco flojo. Realmente la probabilidad de ser encontrado en una pequeña región$d \vec x$es$\int \Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x) d \vec x$.)

La probabilidad de ser encontrado en algún lugar es$1$, y entonces$\int\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)dx = 1$. Una función como esta debe acercarse$0$en todas partes excepto en alguna región finita.

Hay un caso límite en el que es$0$en todas partes excepto en un punto, donde es infinito. En ese caso, tiene una posición definida.

También puede obtener el impulso de$\Psi(\vec x)$. De nuevo, no existe un momento definido, excepto en un caso límite.

En general,$p = h\lambda$. Eso significa que un electrón con un momento definido tendría una función de onda sinusoidal de amplitud constante con una longitud de onda definida. Tal función de onda cubriría todo el espacio.$\Psi(\vec x) = A e^{i \vec p \cdot \vec x}$. Esto no es posible, excepto como un caso límite donde la amplitud se aproxima$0$. Pero en este caso límite, la función de onda tiene la misma amplitud (infinitesimal) en todas partes. El electrón no tiene ubicación en absoluto. Se extiende por todo el espacio.

Estos casos límite se encuentran en los extremos opuestos de una gama de posibilidades. La mayoría de las funciones de onda son distintas de cero en alguna región finita. O al menos, dado cualquier número pequeño$\epsilon$,$|\Psi(\vec x)| > \epsilon$sólo sobre una región finita.

El electrón se encontrará en esa región finita, pero no tiene una ubicación precisa. Sólo una región donde se encontrará.

Asimismo, no tiene un impulso definido. Puede utilizar el análisis de Fourier para dividir una función en una suma de funciones de la forma$A e^{i \vec p \cdot \vec x}$.$\Psi(\vec x) = \sum A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x}$. En el caso de una función no periódica como la que tenemos aquí, es una suma infinita de funciones infinitesimales. Se expresa como una integral en lugar de una suma.$\Psi(\vec x) = \int A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x} d \vec p$

Tu puedes pensar en$A(\vec p)$como otra forma de expresar la función de onda. Esta es otra función matemática, definida sobre ese conjunto de todos los momentos posibles. Es útil para describir el momento del electrón.

Se puede demostrar que$A(\vec p)$tiene muchos de los mismos tipos de propiedades que$\Psi(\vec x)$hace. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar el electrón tiene momento$\vec p$es (otra vez vagamente)$A(\vec p)^*A(\vec p)$.

se puede mostrar$\int A(\vec p)^*A(\vec p)d\vec p = 1$. Es decir, la probabilidad de encontrar el electrón con cierta cantidad de movimiento es$1$. Se puede demostrar que la función solo puede ser distinta de cero para un rango finito de$\vec p$'s.

Hay un caso límite donde donde$A(\vec p)$es$0$en todas partes excepto por un valor de$\vec p$. En este caso límite, el electrón tiene un$\vec p$.

Pero el caso usual es que el electrón no tiene ni un definido$\vec x$, ni un definido$\vec p$. Es decir, cuando la función de onda se expresa como$\Psi(\vec x)$, tiene una región finita donde$\Psi(\vec x) > 0$. En este caso, resulta que cuando la función de onda se expresa como$A(\vec p)$, hay un rango finito de$\vec p$es donde$A(\vec p) > 0$.

El Principio de Incertidumbre es una relación importante entre el tamaño de estas dos regiones finitas.$\Delta \vec x \Delta \vec p > \hbar/2$.

Este video de 3blue1brown ilustra la idea. En particular, muestra cómo el Principio de Incertidumbre proviene de las propiedades de las ondas.

Anexo : no abordé un área donde la respuesta de pglpm realmente brilla. Pensé en agregar mis 2 centavos.

Suponga que tiene un electrón preparado en un estado dado por una función de onda particular,$\Psi(\vec x)$. La posición y el impulso se pueden calcular como valores particulares.$\vec x$y$\vec p$, con incertidumbres$\Delta \vec x$y$\Delta \vec p$. Tenga en cuenta que las incertidumbres a menudo se expresan como desviaciones estándar de los resultados esperados. Esto significa que se puede predecir que la posición y el impulso serán$\vec x \pm \Delta x$y$\vec p \pm \Delta p$.

Supongamos que el electrón acaba de llegar a una superficie de película delgada independiente que contiene muchos átomos.

Si$\Delta \vec x$es grande, no es posible predecir de antemano a qué átomo chocará el electrón. Sin embargo, el electrón golpeará un átomo en particular. Es posible que el átomo se vea afectado de alguna manera permanente, por ejemplo, al ser expulsado y dejar un agujero. En ese caso, es posible volver atrás y averiguar con mucha precisión cuál era la posición del electrón.

Si$\Delta \vec p$es grande, no es posible predecir de antemano cuál será el momento medido del electrón. Pero si expulsa un átomo, puede ser posible medir el tiempo de vuelo del electrón disperso y el átomo a detectores con alta resolución espacial y obtener un valor muy preciso de lo que resultó ser el momento inicial del electrón.

El principio de incertidumbre no limita la precisión con la que podemos determinar los resultados de estas mediciones. Limita la precisión con la que podemos predecirlos por adelantado. Si tiene muchos electrones en el mismo estado, limita cuán repetibles serán las mediciones múltiples.

Inmediatamente después de la colisión, el electrón y el átomo estarán en nuevos estados. Ambos estados tendrán un$\Delta \vec x$y$\Delta \vec p$. No es posible predecir de antemano cuándo y dónde llegarán a sus detectores. Pero es posible decir que los resultados combinados de las mediciones de posición y momento del electrón y el átomo dispersos sumarán un momento consistente con el momento inicial y la incertidumbre del electrón.

Es posible medir tanto la posición como la cantidad de movimiento de una partícula en una posición arbitraria "al mismo tiempo", si considera que esa frase significa "dentro de una sucesión tan rápida que puede estar seguro de que la distribución de probabilidad para la primera cantidad medida no ha cambiado a través de la evolución de Schrödinger entre las dos mediciones".

Pero hacerlo no es muy útil , porque siempre habrá un retraso infinitesimal entre las dos mediciones, y cualquiera que llegue en segundo lugar borrará efectivamente la información obtenida de la primera medición. Por ejemplo, si mide la posición y luego el impulso inmediatamente después, puede obtener un valor muy preciso para ambas mediciones, pero el proceso de obtener una lectura precisa del impulso cambiará la función de onda de modo que su posición después de la medición del impulso ahora tiene una gran incertidumbre. con respecto a una medición posterior. Entonces, la medición del momento "anula" la información de la medición de la posición anterior, en el sentido de hacerla irrepetible.

Por lo tanto, es mejor hablar de la incapacidad de "conocer" la posición y el impulso en ese momento que de la incapacidad de "medir" ambos (lo que en realidad es posible). Comprender completamente por qué requiere comprender tanto el comportamiento de "colapso de estado" de las mediciones como la relación "ancha <-> estrecha" entre los observables que no conmutan (por ejemplo, a través de la transformada de Fourier) que menciona.

Eso es para mediciones en una sucesión extremadamente rápida. Podría preguntar sobre mediciones que tienen lugar exactamente al mismo tiempo, pero eso se mete en aguas filosóficas en cuanto a si dos eventos ocurren exactamente al mismo tiempo, incluso en la física clásica. En la práctica, si intenta hacer ambas mediciones a la vez, siempre encontrará que la partícula sale con una posición o un momento muy limitados, y con una gran incertidumbre en la otra cantidad.

Esa es una pregunta muy profunda y lleva años entenderla. Hago mi mejor esfuerzo para responder.

"¿Qué nos impide medir tanto la posición como el momento con una precisión arbitraria?"

nivel 1: naturaleza. Así es como funciona la naturaleza.

nivel 2: las partículas no son ni onda ni partícula. Se comportan de manera diferente a todo lo que vemos en la vida cotidiana. Puedes ver la conferencia de Feynmann en youtube donde explica este concepto. En algún experimento se comportan como una partícula y en algún experimento se comportan como una onda.

nivel 3: Según nuestro mejor entendimiento, se comportan como un campo que existe en todas partes. ¿Cómo puedes medir la posición y el momento de un campo con certeza infinita? Esta forma de ver las partículas lo explica todo menos la gravedad.

"¿Un sistema cuántico siempre tiene que cambiar cuando se observa?"

El sistema cuántico se observa en uno de los estados. Antes de la observación el sistema es todas las posibilidades al mismo tiempo con distinto peso. Puedes aprender más sobre esto cuando estudies la integral de trayectoria.

Otros ya han dicho esto, pero aquí está la versión sucinta: no puede determinar la posición y el momento del electrón al mismo tiempo por la misma razón exacta por la que no puede determinar el sabor de helado favorito del electrón, a saber: el electrón no tiene un sabor favorito de helado. Asimismo, la mayoría de los electrones, la mayor parte del tiempo, no tienen una posición definida ni un momento definido. Puede obligarlo a tener uno de esos (o al menos una muy buena aproximación), pero seguramente no tiene el otro.

La forma correcta del principio de incertidumbre es que el producto de delta x y delta p siempre es mayor o igual a (hbar)/2. Entre otras cosas, esto significa que cuanto más precisamente conocemos x, menos precisamente podemos conocer p.

Esto no tiene nada que ver con el llamado efecto observador; tiene que ver con el comportamiento ondulatorio de las partículas cuánticas.

Para medir la velocidad, mide el tiempo entre dos posiciones. Una vez que tenga una velocidad determinada, ¿cuál de las dos posiciones le asociaría simultáneamente? No puedes hacerlo bien con ninguna de las dos posiciones. Asociarlo con el promedio de las dos posiciones requeriría que suponga una velocidad constante, pero solo midió la velocidad promedio entre las dos posiciones y no tiene forma de saber si fue constante entre ellas.

Su afirmación de que la relación de incertidumbre proviene de la transformada de Fourier es bastante simplista. La física no es solo una colección de resultados matemáticos. QM se desarrolló como una teoría para dar cuenta de las observaciones experimentales que no respetaban la mecánica clásica, newtoniana o relativista. Realmente señalaron el hecho de que nuestro paradigma con respecto a la naturaleza de la materia estaba equivocado. En QM cada cantidad observable está representada por una operación que actúa sobre un espacio de función lineal. Los valores propios de esos operadores representan las únicas medidas permitidas de esa cantidad que se pueden observar. Por ejemplo, posición ($x$), impulso ($p_x$), energía ($E$), etc. son todos operadores. Las funciones propias de estos operadores representan el "estado" en el que se preparará el sistema una vez que se realice una medición.

Cuando uno mide$x$, que quizás uno pueda hacer con precisión y exactitud arbitrarias, y obtiene un valor específico, la partícula queda en un estado propio del operador$x$, que es una función delta de Dirac. Ahora bien, si uno trata de medir$p_x$inmediatamente después de que existe la misma probabilidad de obtener cualquier valor de$p_x$. Una vez que mides$p_x$su medida anterior de$x$está completamente arruinado. No está en absoluto justificado al afirmar que conoce el valor de$x$. Si tratas de medir$x$de nuevo obtendrá una respuesta diferente. Esto es lo que describe la relación de incertidumbre. Decir que tiene que ver con la precisión de la medición es una pista falsa.

El OP escribió:

Entiendo que para una función de onda dada que si$\Delta x$es pequeño,$\Delta p$será grande y cómo esto surge de las transformaciones de Fourier. Pero no veo cómo esto impide que alguien haga una medición simultánea de ambos$x$y$p$con infinita precisión.

Esto parece reducirse a la cuestión de qué significa "medición simultánea". Qué significa medir simultáneamente dos observables$A, B$es realizar una sola medida en el sistema, obteniendo los valores$a$y$b$, tal que, inmediatamente después de la medición, el sistema se encuentra en un estado en el que el valor de$A$es sin duda$a$y el valor de$B$es sin duda$b$.

En otras palabras, el resultado de la medición es que el sistema se encuentra en un estado propio simultáneo de$A$y$B$. Como no hay estados propios simultáneos de$x$y$p$(como ya entiende el OP), esto no es posible para este par particular de observables.

El principio de incertidumbre no es una limitación a las "medidas", sino que expresa una limitación fundamental del Universo en cuanto a su capacidad de información. En un sentido aproximado, el Universo solo "asigna", por así decirlo, tantos bits a cada partícula y, por lo tanto, solo hay tantos bits disponibles que pueden, en un momento dado, darse cuenta de su posición real y su momento juntos . Esto es más evidente cuando está escrito en el - ¡y esta es una forma más precisa! - forma que involucra la entropía informativa de la posición y el momento:

que simplemente dice que siempre habrá entropía, una falta de información, en comparación con su contraparte clásica, en uno, en el otro o en ambos.

No hay mucha magia en eso. El Universo simplemente es económico y no derrocha un número infinito de bits para detallar los parámetros de sus partículas.

Es por eso que, como menciona la otra respuesta, si ahora incluye la medición , que se entiende mejor como la transacción de información entre un sistema y un agente, y trata de medirlos con mayor precisión que la cantidad anterior (alrededor de 170.18 bits juntos, si se toman en relación a una escala de 1 m y 1 N·s), no podrá repetir la medición inmediatamente después y obtener los mismos valores. Obtener el mismo valor requeriría que la información esté en la partícula para poder recuperarla nuevamente, pero no hay espacio de almacenamiento para eso. Por lo tanto, lo que obtienes es basura.

El Principio de Incertidumbre no tiene casi nada que ver con la medición. Es intrínseco a los fenómenos ondulatorios que si una composición de ondas tiene una frecuencia definida, tiene una gran incertidumbre en cuanto a la duración y viceversa. Técnicamente, una onda sinusoidal pura de una sola frecuencia que dura solo temporalmente no es tan pura. Cuando se expande a su representación de Fourier, se encuentra una distribución de densidad de múltiples frecuencias.

La frecuencia y la duración son cantidades conjugadas de la onda. También lo son el número de onda y la longitud de onda.

El Principio de De Broglie nos permite asociar una longitud de onda a una partícula material en función de su momento. La Mecánica Clásica establece una relación entre la longitud de onda y el impulso de las ondas de luz.

Juntos tenemos que las "Ondas de Materia" tienen impulso y posición como cantidades conjugadas. Una partícula con una banda estrecha de momentos debe tener una amplia distribución en el espacio. La interpretación de Born de la onda de la partícula asocia el módulo de su valor con la probabilidad de estar ubicada en esa posición.

La incertidumbre en la posición es la desviación estándar de la posición dada por su función de onda. La transformada inversa de Fourier es la función de onda en el espacio de momento.

Entonces se puede probar que tener una posición definida, es decir, una alta concentración de probabilidad de ubicarse alrededor de un punto específico, requiere que tengamos una amplia concentración de momentos, es decir, la partícula tiene una probabilidad de estar en múltiples estados de momento que están muy separados.

Todo se reduce a la naturaleza intrínseca de las ondas y las ondas están asociadas con el impulso y la posición.

Esto se manifiesta a través de la medición de varias maneras.

Da la casualidad de que el principio de incertidumbre nos dice que no podemos conocer simultáneamente con una precisión arbitraria dos componentes cualquiera del momento angular de giro de una partícula cuántica, que tenga un giro de 1/2.

Medida$L_x$y podríamos obtener$\hbar/2$. Mídelo un montón de veces más y obtendrás la misma respuesta, repitiendo. ahora mide$L_x$y supongamos que obtienes$\hbar/2$, luego mide$L_y$. Solo hay una probabilidad del 50/50 de obtener cualquiera de los dos valores permitidos. Medida$L_x$nuevamente, solo tiene una probabilidad del 50/50 de obtener una vez más$\hbar/2$.

Cuántica Mecánicamente, estar en un estado específico de$L_x$es necesariamente estar en múltiples estados de$L_y$o$L_z$. Uno obtiene una respuesta definitiva solo si una partícula está en un estado puro de observable cuántico.

En un sistema cuántico más complicado, uno encuentra que solo hay ciertos estados cuánticos permitidos. La medición producirá solo ciertos resultados específicos, independientemente de cómo se mida el valor cinemático. Solo observamos el Principio de Incertidumbre en juego cuando hacemos observaciones, es decir, ejecutamos mediciones, pero el comportamiento es indicativo de atributos fundamentales del sistema y no del aparato de medición.

Como profano, pienso en esto sin invocar el mundo cuántico, sino simplemente las definiciones de "posición" y "velocidad".

• Si quieres medir el impulso, necesitas medir la velocidad.
• Si desea medir la velocidad, debe medir la distancia y el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia.
• Para medir la distancia, necesitas medir 2 posiciones.
• Si mide 2 posiciones, ¿cuál es "la" posición del objeto?

Me imagino este problema igual que mirar un automóvil que viaja perpendicularmente a través de binoculares. Si alguna vez ha intentado esto, encontrará que tiene que seguir moviendo sus prismáticos para seguir el movimiento del automóvil. Entonces alguien te pregunta "¿Dónde está ahora?"

Supongo que si puedes medir el formato preciso de la función de onda, ya sea en$x$o$p$dominio (sin duda puede calcularlo), y considera que el estado cuántico es la descripción real de su posición y momento, entonces conoce ambos. Es solo que decir que "conoce la posición de la partícula con precisión" generalmente significa que la función de onda es forzada (es decir, colapsada) en un pico muy estrecho en el$x$dominio, lo que implica una amplia función de onda en el$p$dominio (o viceversa). Entonces todo se reduce a la semántica de "saber con precisión".

para onda$\Delta \nu \Delta t$y$\Delta k \Delta x$se limitan a ser mayores que alguna función de la amplitud. Esto es válido para el sonido, la luz, las ondas de agua, etc. En el caso de una función de onda de Schrödinger, la amplitud no puede ser arbitrariamente pequeña, ya que la onda debe normalizarse a 1. Debido a esto, existe un valor mínimo de$\hbar/2$.

Una vez que comprenda esto, la pregunta será "¿por qué deberíamos usar la mecánica cuántica?". A esto, la respuesta es que es 100% precisa, hasta ahora. Por qué es esto nadie lo sabe.