Los observables no conmutan si no se pueden diagonalizar simultáneamente, es decir, si no comparten una base de vectores propios. Si observa esta condición de la manera correcta, el principio de incertidumbre resultante se vuelve muy intuitivo.

Como ejemplo, considere el espacio de Hilbert bidimensional que describe la polarización de un fotón que se mueve a lo largo de la$z$eje. Su polarización es un vector en el$xy$plano.

Dejar$A$ser el operador que determina si un fotón está polarizado a lo largo de la$x$eje o el$y$eje, asignando el valor 0 a la primera opción y 1 a la segunda. puedes medir$A$usando un filtro polarizador simple, y sus elementos de matriz son

Ahora deja$B$ser el operador que determina si un fotón es$+$polarizado (es decir, polarizado suroeste/noreste) o$-$polarizados (polarizados sureste/noroeste), asignándoles los valores 0 y 1, respectivamente. Después

los operadores$A$y$B$no conmutan, por lo que no pueden diagonalizarse simultáneamente y obedecer así a un principio de incertidumbre. Y puedes ver inmediatamente por qué a partir de la geometría:$A$y$B$están eligiendo diferentes conjuntos de direcciones. Si tuviera un valor definido de$A$, tienes que ser cualquiera$x$o$y$polarizado Si tuviera un valor definido de$B$, tendrías que ser$+$o$-$polarizado Es imposible ser ambos a la vez.

O, si reformula las cosas en términos de direcciones de la brújula, las preguntas "¿va al norte o al este" y "va al noreste o al sureste" no tienen respuestas bien definidas al mismo tiempo. Esto no significa que las brújulas sean incorrectas o incompletas, o que observar una brújula 'interfiere con la orientación'. Son solo direcciones diferentes .

La posición y el momento son exactamente de la misma manera. Un estado propio de posición está claramente localizado, mientras que un estado propio de impulso tiene una extensión espacial infinita. Pensando en el espacio de Hilbert como un espacio vectorial, simplemente seleccionan diferentes direcciones; ningún vector es un vector propio de ambos a la vez.

Observables que no conmutan significa que una supuesta medida es capaz de cambiar el estado del sistema.

Por ejemplo, cuando hay dos observables A y B que no conmutan, hay un vector propio de A que no es un vector propio de B.

Cuando interactúa con A, luego A y luego B, los dos resultados de la interacción A siempre concuerdan entre sí. Eso significa que la interacción A siempre lo deja en un estado especial, uno que da resultados definidos específicos para una interacción A (el mismo resultado específico que dio la primera).

Pero cuando ese estado no es un vector propio de B (y algún vector propio de uno no es propio del otro si no pueden conmutar), entonces interactuar con A, luego B y luego A puede dar dos resultados diferentes para las interacciones A.

Esto prueba, definitivamente, que la interacción con B no es una revelación pasiva de información preexistente, sino que es una interacción que puede cambiar el estado en cuestión.

Específicamente, puede cambiar el estado de uno que da un resultado fijo particular para una interacción con A a uno capaz de dar un resultado diferente para una interacción con A.

Puede hacer una conexión con el hecho de que el estado físico exacto de un sistema físico arbitrario que ocupa un volumen finito se puede especificar con solo una cantidad finita de información. Si considera algunos observables, entonces los estados propios pueden ser degenerados, luego necesita otro observable que se desplaza con el primero para eliminar esa degeneración, si continúa de esta manera, eventualmente terminará con un conjunto completo de observables conmutables. Dado que solo se necesita una cantidad finita de información para especificar el estado del sistema, esto significa que este conjunto será finito. Entonces se garantiza que puede encontrar observables que no pertenecen a este conjunto.

En el límite clásico, todos los observables conmutan. En este límite, el número de estados físicos distinguibles por unidad de fase tiende a infinito.

La mecánica clásica se puede expresar en forma analítica en términos de posición y "momento conjugado", un término de la mecánica lagrangiana. Este par nos da las variables P, Q de la mecánica hamiltoniana; cuando cualquiera de esos pares se cuantifica, encontrará que no conmutan. El conmutador cuántico "hereda" este comportamiento de los clásicos corchetes de Poisson.

Entonces, esto proporciona algunos antecedentes físicos a su pregunta; el lagrangiano se deriva en última instancia de las leyes del movimiento de Newton a través del principio de acción mínima, un principio variacional.

Sí, hay una razón fundamental por la que algunos observables no se desplazan. Algunos son los generadores que no conmutan de un grupo. Por ejemplo, los momentos angulares$J_x,J_y,J_z$son observables. También son los generadores de rotaciones en el grupo de rotación. Al girar un lápiz con los dedos, puedes comprobar que$Rot_xRot_y$y$Rot_yRot_x$no dan la misma orientación del lápiz. Las rotaciones no conmutan y al considerar rotaciones pequeñas se deducen las relaciones de conmutación$[J_k,J_l]=i\epsilon_{klm}J_m$.

Tu dices eso

Esto lleva al problema de no tener un valor definido de alguna cantidad en algunos estados.

pero que clase de problema es este? No es un problema de desacuerdo entre teoría y experimento. De hecho, como llegaré, ¡es al revés! Si los observables conmutan, no podemos construir teorías que concuerden con el experimento. Entonces el problema aquí es que esto es algo psicológicamente o filosóficamente difícil de aceptar, pero es así y si no te gusta tienes que buscar otro universo donde las reglas sean más simples ...

Se puede argumentar que las desigualdades de Bell y los experimentos GHZ muestran que realmente no hay nada detrás de los observables que no viajan. Una teoría basada solo en observables que viajan diariamente simplemente no puede dar la predicción correcta para el experimento GHZ, pero QM sí lo hace (muy fácilmente, también). Entonces, los observables que no viajan diariamente parecen ser una parte muy fundamental de la forma en que funciona nuestro universo.

Cualquier cosa que sugiera que está "realmente" detrás de la mecánica cuántica tiene que hacer la misma predicción que la mecánica cuántica sobre los resultados de un experimento de Bell o GHZ, porque hemos realizado esos experimentos y encontramos el resultado predicho por QM. Esto descarta que si hay algo detrás de la mecánica cuántica, todos sus observables conmutan.

El universo parece mecánico cuántico porque es mecánico cuántico.

(Hay una laguna en lo anterior: podríamos permitir señales más rápidas que la luz y luego podría haber variables ocultas. Pero eso es realmente perturbador para los físicos en el sentido de que los observables que no viajan no lo son, porque si permitimos más rápido- comunicación que la luz debemos, según Einstein, permitir que las condiciones en el futuro afecten lo que sucede en el presente. Eso significa que ya no puedo confiar en mis experimentos porque alguien del futuro podría estar interfiriendo con ellos. Observables que no viajan significa tenemos que aceptar solo predecir probabilidades en los experimentos, pero eso es mucho mejor que descartar todos los experimentos porque su rival del futuro podría estar saboteándolos).

Me gustaría ampliar un poco una declaración sutilmente incorrecta al comienzo de la publicación original que se señaló en los comentarios:

OP: Si esos observables no conmutan, no hay una base simultánea de vectores propios de cada uno de ellos. En ese caso, en general si$|\phi \rangle$es vector propio de$A$no sera de$B$. (cursiva$\rightarrow$declaración incorrecta)

Comentario (WillO): Usted dice que si los observables no conmutan, no pueden tener vectores propios en común. Esto no es verdad.

Para dar el ejemplo concreto más simple, suponga que nuestro espacio de Hilbert es de dimensión finita y$A$y$B$son observables que no conmutan (matrices). Considere estos dos operadores "expandidos" en un espacio de Hilbert similarmente "expandido":

Claramente$A'$y$B'$tampoco viajan, pero comparten un vector propio$v=(\,0 \,\,1 \,)^{\text{T}}$por el bloque$1$en cada uno de sus rincones.

La moraleja de la historia es que los observables que no viajan solo implican la primera oración del OP, no la segunda que he puesto en cursiva (ver arriba). Los observables que no se desplazan implican que no pueden compartir una base propia común completa.

Editar

Me equivoqué acerca de que la declaración era sutilmente incorrecta (ver los comentarios de @Kostya a continuación). El significado originalmente previsto por el OP (que es como también lo entendí por primera vez, y que sé que en realidad era el significado previsto por el OP debido a sus comentarios posteriores) era incorrecto, pero la forma en que estaba redactado en realidad negaba el problema que resultaba en una afirmación técnicamente correcta. En general, un vector propio de una matriz$A$no será un vector propio de otra matriz$B$cuando$[A,B]\neq 0$. Puede haber algunos vectores propios de$A$en común con$B$(como señalé originalmente), pero no todos serán en común.