Una pregunta sobre los conmutadores de los operadores.

Creo que el malentendido se deriva del siguiente hecho. Dado que$[A,B]=0$entonces podemos construir una base propia simultánea para$A$y$B$, llámalo$\mathcal{B}_1$.

Por otro lado tenemos que$[B,C]=0$lo que significa que podemos construir una base propia simultánea para$B$y$C$ pero , y aquí está el problema, esta segunda base propia simultánea no es la misma que la primera . Llame a esta base propia$\mathcal{B}_2$. Esto significa que un estado propio simultáneo de$B$y$C$no es y estado propio de$A$ya que se acumula en el$\mathcal{B}_2$base propia, la de$B$y$C$.

Este hecho se relaciona directamente con$[A,C]\neq 0$ya que esto implica que no podemos construir una base propia simultánea de$A$y$C$.

Usando la notación bra-ket esto se puede ver fácilmente: si llamamos$|a,b\rangle$un estado tal que

Un error cometido aquí es esta declaración y todas las similares:

Pero desde$[A,B]=0$podemos medir$B$exactamente posterior a$A$porque están en los mismos estados propios.

El colapso a un estado propio de$A$después de la medición no garantiza necesariamente nada acerca de una medición posterior de$B$- todavía puede estar en una superposición de estados propios comunes de$A$y$B$, siempre que el valor propio en$A$es el mismo. En ese caso, el valor de la medición de$B$no está necesariamente garantizado.

$[A,B]=0$sólo dice que hay vectores propios comunes de$A$y$B$, no es que ambos deban determinarse juntos.$[B,C]=0$dice algo parecido. Combinar los dos no te dice$A$,$B$,$C$se determinan juntos en la medida, y por lo tanto no hay contradicción con$[A,C]≠0$diciéndote eso$A$y$C$no se pueden determinar juntos.

Supongamos, también ahora hacemos una medición de$A$

Ok, entonces nuestro sistema está en un estado de definición$a$después de esta medición.

entonces, en consecuencia, perderíamos toda la información sobre$C$

si, desde$[A,C]\neq0$, sabemos que nuestro estado actual se puede describir como una superposición de varios estados con$c$.

Pero fíjate que$[B,C]=0$pues se sigue que$B$debe estar en los mismos estados propios que$C$después de la medición de$A$y por lo tanto no podemos medir$B$.

Esto no tiene ningún sentido para mí. Acabamos de hacer una medición de$A$en nuestro sistema, por lo que está en un estado de definitiva$a$. Esto no tiene nada que ver con otras mediciones, ya que aún no has dicho que hicimos otra medición. Somos totalmente capaces de hacer una medición de$B$, y ya que estábamos en un estado de definitiva$a$, y desde$[A,B]=0$, si hacemos tal medición podemos decir que ahora nuestro sistema estará en un estado con definición$a$y definido$b$. Nada de esto ahora tiene nada que ver con$C$o cómo se relaciona con los otros observables.

Pero desde$[A,B]=0$podemos medir$B$exactamente posterior a$A$porque están en los mismos estados propios.

Existe un conjunto de estados propios simultáneos para$A$y$B$, Sí. Esto se describe arriba.

Por lo tanto, QM nos dice que podemos medir simultáneamente B después de A porque están en los mismos estados propios, pero tampoco podemos medir B porque después de la medición de A, C se ve afectada y B está en los mismos estados propios que C. ¿Cómo es esto posible? ?

No hay contradicción.$[A,B]=0$no significa que todos los estados propios de$A$son estados propios de$B$. Simplemente significa que podemos encontrar una base propia común de ambos operadores.

Para pasar por todo el proceso, primero midamos$A$, entonces estamos en algún estado de definición$a$. Ahora vamos a medir$B$, entonces estamos en un estado con definida$a$y definido$b$. Ahora vamos a medir$C$, entonces estamos en un estado con definida$b$y definido$c$. Sin contradicción.

Me gustaría responder a esto desde la perspectiva del álgebra de momento angular en Mecánica Cuántica, y también usando ideas de vectores en un espacio bidimensional.

Consideremos un espacio bidimensional con vectores que comienzan con su punta en el origen. Sea M una matriz. El propósito de M es rotar y escalar (comprimir o estirar) cualquier vector en este espacio 2D. Sin embargo, hay algunos vectores que solo escalan y no giran. Dichos vectores son los vectores propios de M. De manera similar, para otra matriz N. En 2D, puede haber como máximo 2 vectores propios linealmente independientes (li). Supongamos que M y N tienen solo 2 vectores propios li, pero cada uno de ellos es diferente, es decir, ningún vector propio de M se superpone con el vector propio de N. Hasta ahora, probablemente sepa todo esto.

Ahora, considere la matriz de identidad de orden 2. El papel de la matriz de identidad es escalar "todos" los vectores en 2D en la misma cantidad (escala de 1). Así, todo el espacio de vectores son autovectores de Identidad.

Ahora, sabemos que todas las matrices conmutan con Identidad. Por lo tanto, en nuestro caso, [M,I] = 0 y [N,I] = 0. Sin embargo, ¿eso implica que el conjunto de vectores propios de M o N (o cualquier otra matriz de hecho) es todo el espacio 2D de vectores ? No, ¿verdad? Entonces, conmutar matrices no significa necesariamente que el conjunto completo de vectores propios de ambos tenga que ser el mismo en número. Simplemente puede significar que una de las matrices tiene un conjunto más grande de vectores propios, algunos de los cuales coinciden exactamente con el conjunto de vectores propios de la otra matriz.

Entonces, ¿por qué es esto relevante en esta discusión?

Considere ahora el caso del álgebra de momento angular. De acuerdo con su pregunta, sea A$S_x$(el operador de espín para medir el espín a lo largo del eje x), B ser$S^2$(el operador de medición de espín total) y C ser$S_z$(el operador de espín para medir el espín a lo largo del eje z).

Ves que las relaciones de conmutación que diste están satisfechas por estas 3 matrices, a saber [$S_x$,$S^2$] = 0, [$S^2$,$S_z$] = 0 pero [$S_x$,$S_z$] =$i\hbar\ S_y\ \ne 0$

Ahora, visualicemos estas matrices de espín para que actúen sobre un espacio de vectores en 2D (aunque de manera inapropiada).

$S_x$tiene los vectores propios$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose 1}$y$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose -1}$, que son como$\frac{\hat{\imath}+ \hat{\jmath}}{\sqrt{2}}$y$\frac{\hat{\imath} - \hat{\jmath}}{\sqrt{2}}$

$S_z$tiene los vectores propios${1\choose 0}$y${0\choose 1}$, que son como$\hat{\imath}$y$\hat{\jmath}$

Tenga en cuenta que$S_x$y$S_z$tiene un conjunto de vectores propios que no se superponen.

Mientras,$S^2$es literalmente la matriz de identidad de orden 2, por lo tanto, su conjunto de vectores propios es todo el espacio 2D de vectores, incluido$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose 1}$,$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose -1}$,${1\choose 0}$y${0\choose 1}$

Ahora, cuando midas$S_x$(que es A en su pregunta), el estado colapsa en uno de los vectores propios, digamos que$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose 1}$

Ahora,$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose 1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}{1\choose 0} + \frac{1}{\sqrt{2}}{0\choose 1}$.

Por lo tanto, encontramos que existe la misma probabilidad de obtener${1\choose 0}$como es la probabilidad de obtener${0\choose 1}$. En otras palabras, la componente z del espín de la partícula es completamente incierta. Esto es exactamente lo que dices cuando dices que C se vuelve incierto después de medir A.

Pero, observe una cosa, a pesar de que no sabemos absolutamente nada sobre el componente z, todavía encontramos que los "vectores propios inciertos" de$S_z$siguen siendo los vectores propios de$S^2$.

Entonces, aunque la medición de$S_x$completamente hecho$S_z$incierto, pero no sólo el estado propio colapsado de$S_x$se superpone con uno de los estados propios de$S^2$(lo que significa$S_x$y$S^2$pueden medirse simultáneamente) sino también los vectores propios inciertos de$S_z$se superpone con$S^2$.

Por lo tanto, probablemente ahora comprenda que la única suposición que fallaba era que si [B,C] = 0, entonces C se vuelve incierto implica que B se vuelve incierto . No es necesario. Cuando B tiene un conjunto de vectores propios más grande que C, incluso si los vectores propios de C se vuelven inciertos, es posible que el rango de incertidumbre se mantenga dentro del conjunto de vectores propios de B , de modo que [B,C] = 0 sigue siendo obedeció

PS Si A y B tienen el mismo número de vectores propios superpuestos, y B y C también tienen el mismo número de vectores propios superpuestos, entonces necesariamente implica que A y C también deben tener el mismo número de vectores propios superpuestos, y por lo tanto [A,C ] debe ser 0. Solo cuando B tiene un conjunto mayor de vectores propios que al menos A o C, solo entonces [A,C] puede no ser 0.

Es fácil ver por qué este sería el caso si considera las matemáticas de la medición simultánea:

Si la medición simultánea de 3 observables debería ser posible, entonces necesitamos que los 3 estén conmutando entre sí, es decir, [A,B]=0, [B,C]=0 Y [A,C]=0. Esto se puede ver fácilmente si consideramos lo que equivale matemáticamente una medida de tres observables: son 3 operadores que actúan uno tras otro; que tiene 6 permutaciones.

Si [A,B]=0, sabemos AB=BA y, en consecuencia, CBA=CAB. De manera similar, si [B,C]=0, sabemos que BC=CB, y, en consecuencia, ABC=ACB. Estos dos conmutadores siendo cero garantizan solo 4 de las 6 permutaciones necesarias cuando considera 3 observables. Las dos permutaciones restantes cuando considera 3 observables son BAC y BCA. Para BAC=BCA, A & C tienen que viajar; de lo contrario, los 3 observables no se pueden medir simultáneamente.

Hablando físicamente, la medida de A&B deja el sistema en un estado propio común de los dos. Si mide C ahora, el sistema ya no estará en el mismo estado. Estará en un estado diferente que es un estado propio de B, pero no de A. No hay contradicción.