Generalización del principio de incertidumbre para aceleración, tirón, etc.

El Principio de Incertidumbre establece que cuanto más se sabe acerca de la posición de una partícula, menos se sabe acerca de su velocidad y viceversa, y existe una igualdad σ X σ pag ≥ h 4 π que afirma esto de una manera más precisa. Me preguntaba si esta desigualdad podría modificarse y generalizarse para relacionar diferentes derivadas de posición, como posición y aceleración, velocidad y aceleración, velocidad y tirón, o realmente dos (o posiblemente incluso más de dos) derivadas de posición. No tengo formación en física.

¿Cuál sería una derivada temporal de la posición en la mecánica cuántica?
Como dije, no tengo experiencia en física. Supuse que habría sido la velocidad, pero según su pregunta, asumo que la derivada temporal de la posición no tiene mucho sentido en la mecánica cuántica.

Respuestas (3)

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg ha sido exitoso para describir observaciones a nivel de partículas, pero ahora puede derivarse de la teoría básica de la mecánica cuántica. ( aquí está la historia de cómo fue desarrollado por Heisenberg) El que cita se trata de que la posición y el impulso están restringidos cuando se miden juntos. Depende de las matemáticas de la mecánica cuántica.

Hay más relaciones de incertidumbre posibles, pero se derivan de la teoría matemática, por lo que no son generalizaciones arbitrarias, como sugiere.

Tu última frase me confunde. Deducir nuevas relaciones de incertidumbre a partir de la teoría matemática existente está en la línea de lo que estaba sugiriendo, pero tal vez no se establezca claramente.
son variables diferentes, por ejemplo, energía y tiempo, hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/uncer.html . Su pregunta parece implicar que el delta (x) es una de las variables
Ahhh Gracias por su respuesta original y su aclaración.
Así que supongo que mi principal error es asumir que el principio de incertidumbre trata con la velocidad cuando en realidad trata con el impulso, pero no estoy seguro.
Las incertidumbres vienen con el acoplamiento de dos variables, pero sí se trata de momento y espacio. Como dice la otra respuesta, puede intentar usar el dxdp HUP para probar y ver si hay operadores mecánicos cuánticos que le darían lo que está preguntando explícitamente, en función de la incertidumbre básica de dpdx. Las matemáticas son poderosas.
@annav que HUP ha sido impuesto por observaciones a nivel de partículas suena una declaración demasiado fuerte. Más bien diría que históricamente fue una forma de interpretar los resultados teóricos de acuerdo con los experimentos.
@GiorgioP Tienes razón, lo he editado, gracias.
@annav basado en su comentario acerca de que delta (x) no es una de las variables, me preguntaba si la masa en la mecánica cuántica es "más desordenada" que en la mecánica newtoniana. Originalmente, estaba tratando la masa como una constante y, por lo tanto, podía ignorarse como una variable, dejando solo la velocidad como variable en lugar del impulso.
La masa @NullSimplex en relatividad especial se usa para la física de partículas, y sí, es "más desordenada". Es la "longitud" del vector de cuatro impulsos de energía. Ver hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Relativ/vec4.html
@annav Ya veo. Recuerdo haber escuchado en relatividad que a medida que los objetos se acercan a la velocidad de la luz, su masa crece indefinidamente, por lo que supongo que el impulso de una partícula en movimiento rápido se volvería más complicado.
La masa al aproximarse a la velocidad de la luz sigue el mismo álgebra pero es la masa inercial , no la masa invariante del objeto, es decir, la masa que cumple la clásica f=ma, cuanta fuerza se debe ejercer para conseguir la aceleración. No se utiliza para la física de partículas.

Es posible "generalizar" las Relaciones de Incertidumbre (UR), en el sentido de que es posible obtener otras UR, a partir del álgebra de posición y momento, aunque sólo para observables que dependan de ellas.

El punto de partida es la forma generalizada de la UR , válida para los dos operadores simétricos genéricos A y B :

σ A σ B ≥ | 1 2 i ⟨ [ A , B ] ⟩ | ,
dónde σ A y σ B son las desviaciones estándar de las distribuciones de los valores de los dos observables en un estado cuántico dado, y ⟨ [ A , B ] ⟩ es el valor esperado del conmutador A B − B A en el mismo estado.

Por lo tanto, todo lo que necesitamos es el conmutador de A y B . Esto se puede obtener fácilmente del conmutador básico de posiciones y momentos. [ X i , pag j ] = i ℏ d i j para cualquier observable que pueda escribirse como una función analítica de ellos (uno tiene que usar algunas identidades básicas de conmutador ).

Note que para obtener la UR cuántica para cantidades clásicas, uno tiene que proporcionar una expresión razonable de estas cantidades como operadores en términos de posición y cantidad de movimiento. Por ejemplo, un operador de velocidad se puede definir naturalmente como pag / metro . Para derivadas de orden superior, el problema es encontrar una definición razonable en términos de posición y cantidad de movimiento.

Como dice Anna, el principio de incertidumbre de Heisenberg es una propiedad fundamental de la naturaleza. No es que esta relación se definiera utilizando únicamente conceptos matemáticos , sino que se derivó rigurosamente utilizando resultados y postulados de la mecánica cuántica como la relación de incertidumbre de Robertson-Schrodinger.

σ A 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2

y la relación del conmutador

[ X ^ , pag ^ ] = i ℏ
el concepto de que un estado cuántico se puede expresar como la combinación lineal
| ψ ⟩ = ∑ norte C norte | norte ⟩
y el valor esperado de cantidades, por ejemplo, energía
⟨ mi ⟩ = ⟨ ψ | H | ψ ⟩

junto con otros conceptos y postulados de la mecánica cuántica. Si pudiera determinar las relaciones de incertidumbre que desea, estas serían relaciones matemáticas sin significado físico.

Generalización del principio de incertidumbre para aceleración, tirón, etc.
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