Una pregunta sobre auto-dual diferencial 2-formas

Esta pregunta es del Lema 2 en el artículo de Derdzinski .

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ω = mi 1 ∧ mi 2 + mi 3 ∧ mi 4 , η = mi 1 ∧ mi 3 + mi 4 ∧ mi 2 , θ = mi 1 ∧ mi 4 + mi 2 ∧ mi 3
ser una base para las dos formas autodual en una variedad cuádruple, donde { mi 1 , mi 2 , mi 3 , mi 4 } es una base ortonormal del espacio tangente. Derdzinski dijo que

ω 2 = η 2 = θ 2 = − i d ,   ω η = θ = − η ω .

me preguntaba que ω 2 = − i d y ω η = θ ¿significar? ¿Es este producto de cuña u otra operación? Muchas gracias.

Sospecho que (a) es un producto exterior, y (b) la segunda ecuación debería tener un 0 donde tienes un θ .
Derdzinski dijo a partir de las fórmulas que el espacio tangente tiene una estructura cuaterniónica, por lo que es θ .
DE ACUERDO. En ese caso, ciertamente no puede ser un producto de cuña, porque una forma de 2 no es probable que sea igual a una forma de 4. :)

Respuestas (1)

La clave para interpretar estas fórmulas es el isomorfismo que Derdzinski menciona en la parte (b) del Lema 2:

Λ 2 T X METRO ≅ s o ( 4 ) .
Tenga en cuenta que Λ 2 T X METRO se refiere al espacio de 2 -vectores (contravariante alterna 2 -tensores), no 2 -formas (que se denotarían Λ 2 T X ∗ METRO en su notación).

Lo que significa este isomorfismo es que un 2 -vector puede interpretarse canónicamente como un endomorfismo sesgado simétrico del espacio tangente. El endomorfismo correspondiente a un 2 -vector ω es el ( 1 , 1 ) -tensor ω ♯ obtenido elevando un índice de ω . Eso ω ♯ es asimétrico es más fácil de ver en una base ortonormal, donde la matriz de ω ♯ es igual que el de ω o su negativo (dependiendo de qué índice se eleve).

Usando este isomorfismo canónico, los productos que escribe Derdzinski son composiciones de endomorfismos. Puedes verificar esto escribiendo las matrices de ω , η , θ en cuanto a la base { mi 1 , … , mi 4 } y calcular sus productos matriciales. (Tendrá que averiguar cuál es el índice correcto para aumentar para obtener los signos correctos en estos productos).

Lo sentimos, ¿no son bi-vectores y 2-formas en correspondencia 1-1? I
@CFG: Bueno, sí. Pero solo tener una correspondencia 1-1 no es útil. (Por ejemplo, hay una correspondencia 1-1 entre la línea real y el conjunto de todas las clases de homeomorfismos de variedades conectadas). De hecho, en cada variedad suave, hay un isomorfismo de paquete entre el paquete de bivectores y el paquete de 2 -forms, pero eso tampoco es útil porque el isomorfismo depende de muchas opciones. Sin embargo, en una variedad de Riemann, como es el caso aquí, son canónicamente isomorfos entre sí y con el conjunto de endomorfismos sesgados.
Aunque son canónicamente isomorfos, son diferentes tipos de objetos, y es importante tener claro de cuál estás hablando en un entorno determinado.
Ok, pregunté esto porque he visto muchas veces en artículos que los autores afirman que (si no me equivoco) el operador de curvatura puede verse como operador en Λ 2 T pag METRO así como Λ 2 T pag ∗ METRO .
Oh, lo siento. Tu respuesta y comentario me confundió durante 4 horas. quisiste decir que no es verdad Λ 2 T X ∗ METRO ≅ s o ( 4 ) ?
En una variedad de Riemann, hay un isomorfismo canónico entre Λ 2 T X ∗ METRO y Λ 2 T X METRO , y usando este isomorfismo canónico, el tensor de curvatura determina operadores en ambos Λ 2 T X METRO y Λ 2 T X ∗ METRO . También es cierto que Λ 2 T X ∗ METRO es isomorfo a s o ( 4 ) , pero este isomorfismo no es canónico, depende de la elección de la base.
¿Es realmente importante aquí que este isomorfismo sea canónico o no?
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